第八節函式的圖象
高考概覽
1.理解點的座標與函式圖象的關係；2.會利用平移、對稱、伸縮變換，由乙個函式圖象得到另乙個函式的圖象；3.
會運用函式圖象理解和研究函式的性質，解決方程解的個數與不等式的解的問題.
[知識梳理]
1．函式圖象的作圖方法：描點法、圖象變換法
(1)描點法：其基本步驟是列表、描點、連線
①確定函式的定義域，化簡函式的解析式；
②討論函式的性質(單調性、奇偶性、週期性、有界性等)
其次列表(尤其注意特殊點：與x、y軸的交點、最大、最小值點)描點、連線，得出函式圖象．
(2)圖象變換法
[溫馨提示] 兩個易錯點：
(1)左右平移的單位：
函式圖象的左右平移都是針對自變數「x」而言，即發生變化的只是x本身，依據「左加右減」的規則。如：
從y＝f(－2x)的圖象到y＝f(－2x＋1)的圖象是向右平移個單位，是將x變成x－，這與三角函式中的圖象變換是一致的．如：把函式y＝sin2x向左平移個單位長度可得到y＝sin的圖象．
(2)明確對稱變換是指兩個函式的圖象特徵，而與奇偶性有關的對稱，是指乙個函式圖象的自身特徵．如：
函式y＝2x的圖象與y＝2－x的圖象關於y軸對稱．
2．函式圖象的識別
(1)確定函式的定義域、值域．
(2)確定函式的性質(單調性、奇偶性、週期性等)．
(3)確定函式圖象上的特殊點(與座標軸的交點、所過定點等)．
(4)綜合分析得出函式圖象的大致形狀．
3．函式圖象的應用
(1)研究函式性質：在已知函式圖象後，函式圖象體現了函式的全部性質，可以根據函式圖象得出函式性質．
(2)數形結合解題：在與函式有關的問題中，畫出函式圖象，數形結合尋找解題思路．
[小題速練]
1．函式y＝的圖象大致是( )
[答案] b
2．函式y＝的圖象可能是( )
[解析] x>0時，y＝lnx，排除c、d，又原函式為奇函式，選b.
[答案] b
3．為了得到函式y＝2x－3－1的圖象，只需把函式y＝2x的圖象上所有的點( )
a．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
b．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
c．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
d．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
[解析] y＝2x向右平移3個單位得y＝2x－3，再向下平移乙個單位，得y＝2x－3－1，選a.
[答案] a
4．下列函式f(x)圖象中，滿足f>f(3)>f(2)的只可能是( )
[解析] 因為f>f(3)>f(2)，所以函式f(x)有增有減，排除a，b.在c中，ff(0)，即f[答案] d
5．若關於x的方程|x|＝a－x只有乙個解，則實數a的取值範圍是________．
[解析] 作出y＝|x|與y＝a－x的圖象．由圖可以看出a>0時，兩圖象只有乙個交點．
[答案] (0，＋∞)
作出下列函式的圖象：
(1)y＝；
(2)y＝|x|；
(3)y＝|log2(x＋1)|；
[思路引導] (1) →→
(3) →→
[解] (1)首先要化簡解析式，y＝
因y＝為奇函式，作出y＝x2，x>0的圖象後，再根據奇函式的圖象關於原點對稱，作出y軸左邊的圖象，如圖所示．
(2)(1)作出y＝x的圖象，保留y＝x圖象中x≥0的部分，加上y＝x的圖象中x>0部分關於y軸的對稱部分，即得y＝|x|的圖象，如圖實線部分．
(3)將函式y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函式y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖．
函式圖象的畫法
[跟蹤演練]
作出下列函式的圖象：
(1)y＝
(2)作出下列函式的圖象：
y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)∵y＝＝2＋，故函式圖象可由y＝的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位而得，如圖．
(2)∵y＝且函式為偶函式，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，即得函式圖象如圖．
(1)(2017·全國卷ⅰ)函式y＝的部分圖象大致為( )
(2)(2017·全國卷ⅲ)函式y＝1＋x＋的部分圖象大致為( )
[思路引導] (1) →
[解析] (1)由題意，令函式f(x)＝，其定義域為，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝為奇函式，其圖象關於原點對稱，故排除b；因為f＝＝0，f＝＝<0，所以排除a；f(π)＝＝0，排除d.故選c.
(2)易知函式g(x)＝x＋是奇函式，其函式圖象關於原點對稱，所以函式y＝1＋x＋的圖象只需把g(x)的圖象向上平移乙個單位長度，結合選項知選d.
[答案] (1)c (2)d
(1)抓住函式的性質，定性分析
①從函式的定義域，判斷圖象的左右位置；從函式的值域，判斷圖象的上下位置．②從函式的單調性，判斷圖象的變化趨勢．③從週期性，判斷圖象的迴圈往復．④從函式的奇偶性，判斷圖象的對稱性．
(2)從函式圖象的特殊點出發，定量分析．將圖象上一些特殊點的橫座標代入解析式，求出函式值與圖象比較．
[跟蹤演練]
1．(2017·安徽「江南十校」聯考)函式y＝log2(|x|＋1)的圖象大致是( )
[解析] y＝log2(|x|＋1)是偶函式，當x≥0時，y＝log2(x＋1)是增函式，且過點(0,0)，(1,1)，只有選項b滿足．
[答案] b
2．(2017·臨沂一模)已知a是常數，函式f(x)＝x3＋ (1－a)x2－ax＋2的導函式y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函式g(x)＝|ax－2|的圖象可能是( )
[解析] 由f(x)＝x3＋ (1－a)x2－ax＋2，得f′(x)＝x2＋(1－a)x－a，根據y＝f′(x)的圖象知－>0，∴a>1.則函式g(x)＝|ax－2|的圖象是由函式y＝ax的圖象向下平移2個單位，然後將x軸下方的圖象翻摺到x軸上方得到的，選d.
[答案] d
角度解讀：函式圖象的應用主要是利用圖象研究函式的性質，考查解決方程的根、解不等式、求引數等問題的能力．其關鍵是根據題意畫出相應函式的圖象，利用數形結合的思想求解，多以選擇題、填空題的形式出現，難度中等偏上．
(1)(2018·山東棗莊模擬)已知f(x)＝則函式y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點個數是________．
(2)已知函式f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值範圍是( )
a. b．
c．(1,2) d．(2，＋∞)
[思路引導] (1) →→
(2) →
[解析] (1)由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1作出函式y＝f(x)的圖象．
由圖象知y＝與y＝f(x)的圖象有2個交點，
y＝1與y＝f(x)的圖象有3個交點．
因此函式y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點有5個．
(2)f(x)＝如圖，作出y＝f(x)的圖象，其中a(2,1)，則koa＝.要使方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則函式f(x)與g(x)的圖象有兩個不同的交點，由圖可知， [答案] (1)5 (2)b
[拓展**] (1)若本例(2)中的「方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根」改為「方程f(x)＝g(x)有乙個實根」結果如何？
(2)若本例(2)中的「g(x)＝kx」改為「g(x)＝loga(x＋1)」，求實數a的取值範圍．
[解析] (1)由圖可知，當k＝或k≥1或k<－1時，函式f(x)與g(x)的圖象有乙個交點，故k＝或k≥1或k<－1.
(2)作出y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖．
由loga3＝1，得a＝3.
由對數函式的圖象變化可知，當函式f(x)與g(x)的圖象有兩個不同的交點時，有1[答案] (1)k＝或k≥1或k<－1 (2)1 (1)函式f(x)是定義在[－4,4]上的偶函式，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那麼不等式<0的解集為________．
(2)(2015·北京卷)如圖，函式f(x)的圖象為折線acb，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
a．{x|－1c．{x|－1[思路引導]
(2) →→
[解析] (1)當x∈時，y＝cosx>0.當x∈時，y＝cosx<0.結合y＝f(x)，x∈[0,4]上的圖象知，當1所以<0的解集為∪.
(2)作出函式y＝log2(x＋1)的圖象，如圖所示：
其中函式f(x)與y＝log2(x＋1)的圖象的交點為d(1,1)，結合圖象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1[答案] (1) ∪ (2)c
(1)將函式的零點轉化為兩個函式圖象的交點，將方程的根的個數轉化為兩個函式圖象的交點個數，數形結合加以判斷．
(2)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數法求解，但其對應函式的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函式圖象的上、下關係問題，從而利用數形結合求解．
[跟蹤演練]
(2017·貴州貴陽模擬)已知函式f(x)的圖象如圖所示，則函式g(x)＝logf(x)的定義域是
[解析] 當f(x)>0時，函式g(x)＝logf(x)有意義，由函式f(x)的圖象知滿足f(x)>0的x∈(2,8]．
[答案] (2,8]
巧用函式的變化趨勢及特殊值選圖
素養解讀：函式圖象的識別是高考中的一種常見題型，其常用的判斷方式主要有特殊點法，性質法及圖象變換法．但是有些函式的圖象性質不是很明顯，這才可以考慮用特殊點法，結合其變化趨勢來選擇圖象．
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