第1章習題課
預習清單
1. 集合的含義及表示方法；
2. 集合的基本關係；
3. 集合的運算；
4. 集合中引數問題。
引導清單（訓練清單）
例1 用適當的方法表示下列集合：
(1)大於2且小於16的質數組成的集合a；
(2)方程x2－2x＋1＝0的解組成的集合b；
(3)平面直角座標系中直線y＝x上的點組成的集合c；
(4)所有被3除餘1的整數組成的集合d；
(5)e＝；
(6)f＝.
解：(1)大於2且小於16的質數有3，5，7，11，13，故a＝；
(2)方程x2－2x＋1＝0有兩個相等的解1，故b＝；
(3)平面直角座標系中直線y＝x上的點組成的集合是點集，故c＝；
(4)這一集合中元素的屬性為被3除餘1且為整數，所以d＝.
(5)∵x＋y＝4，x∈n＋，y∈n＋，
∴或或∴e＝；
(6)∵∈z，且x∈n，
∴1＋x＝1，2，3，6.
∴x＝0，1，2，5.
即＝6，3，2，1.
∴f＝.
例2.已知集合a＝，若集合a中至多有乙個元素，求實數a的取值範圍．
解： 當a＝0時，方程只有乙個根－，則a＝0符合題意．
當a≠0時，則關於x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由於集合a中至多有乙個元素，
則一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個相等的實數根或沒有實數根，所以δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
綜上可得，實數a的取值範圍是．
例3 已知m＝，n＝，且m＝n，試求實數a，b的值．
[自主解答] ∵m＝n，
∴或解得或或
再根據集合中元素的互異性得或
[悟一法]
解決集合相等問題的步驟：①利用集合相等的條件，建立方程或方程組，求得引數．②把所得數值依次代入集合驗證，若滿足元素的互異性，則所求是可行的，否則應捨去．
例4 設集合a＝，b＝，若ba，求實數a的取值範圍．
解 a＝＝，
∵ba，∴分b＝a，ba兩種情況討論．
①當a＝b時，b＝，
即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩根，於是得a＝1.
②當ba時，若b＝，則δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1；
若b≠，則δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1.
驗證知b＝滿足條件．
綜上可知，所求實數a的取值範圍為a＝1或a≤－1.
注意：(1)根據兩集合之間的關係求引數的值時，要明確集合中的元素，通常依據相關的定義，觀察這兩個集合中元素的關係，轉化為解方程或解不等式．
(2)空集是任何集合的子集，因此在處理a?b(b≠?)的含引數問題時，要注意討論a＝?和a≠?兩種情況．
例5 設a＝；b＝．
(1)若a∩b＝b，求a的取值範圍；
(2)若a∪b＝b，求a的值．
解由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.
∴a＝．
(1)∵a∩b＝b，∴b?a，b＝?，，，．
當b＝?時，δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
當b＝時，∴a＝0；
當b＝時，無解；
當b＝時，得a＝1.
綜上所述，得a的取值範圍是．
(2)∵a∪b＝b，∴a?b，
又∵a＝，而b中方程至多有兩個根，
∴a＝b，由(1)知a＝1.
鞏固清單
1.設集合a＝，b＝，已知b?a.求實數m的取值範圍．
解 ∵a＝，
又∵ba.
(1)當m－1＞2m＋1，即m＜－2時，b＝?，符合題意．
(2)當m－1≤2m＋1，即m≥－2時，b≠?.
由ba，借助數軸表示如圖所示．
則解得0≤m≤.
綜上(1)(2)所述，m＜－2或0≤m≤.
2．設集合a＝，集合b＝，當a∩b＝時，求a∪b.
解：∵2∈a，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.
當a＝1時，集合b的元素a2＋2a＝3，2a＋1＝3.
由集合中元素的互異性知a≠1.
當a＝－3時，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，
即集合b＝．
∴a∪b＝．
3．已知集合a＝，集合b＝，且a∪b＝a，試求實數m的取值範圍．
解：∵a∪b＝a，∴b?a.
又∵a＝≠?，
∴b＝?或b≠?.
當b＝?時，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
當b≠?時，如圖所示，
由數軸可得解得2≤m≤3.
綜上可得，實數m的取值範圍是m＜2或2≤m≤3，
即m≤3.
4．已知集合a＝，b＝．
(1)若a∪b＝b，求實數m的取值範圍；
(2)若a∩b≠?，求實數m的取值範圍．
解：(1)∵a∪b＝b，∴a?b，
由下圖可得
∴－6≤m≤－2為所求範圍；
(2)∵a∩b≠?，∴
∴－11＜m＜3為所求範圍.
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