第一章集合與簡易邏輯
基本知識網路圖：
第一部分：集合的概念及其運算
1、集合與元素
x是集合a的元素則記作x∈a，若元素x不是集合a的元素則記作。
2、集合的分類
有限集、無限集、 空集 。
3、集合元素的特性
確定性、互異性、無序性
4、集合的表示方法
列舉法、描述法 、圖示法
5、常見數集及符號
n、n*(n+)、z、q、r、、
1. 集合與元素的關係：
弄清楚集合與集合，元素與集合各是什麼關係
例1上述正確的是
2. 集合元素具有三要素（確定性、無序性、互異性）.
在求有關集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如：
例2、，求.
例3、，求的值.
例4、已知集合
（1）若a中只有乙個元素，求a的值，並求出這個集合.
（2）若a中至多有乙個元素，求a的範圍.
（3）若a中有兩個元素，求a的範圍.
（4）若a中至少有乙個元素，求a的範圍.
3. 集合的表示法（列舉法、描述法、影象法）.
（1）列舉法：
（2）描述法：
特徵元素顯示誰是元素，元素的屬性顯示集合中所有元素具有的性質，要滿足的條件；反過來，只要滿足元素屬性，都要作為集合的元素.
①理解集合的意義——抓住集合的代表元素(特徵元素)。如：
(1)——函式的自變數的集合；
(2)——函式的函式值的集合；
(3)—函式圖象上的點集，
例5、①，;
②，. 分別求.
例6、，則（ ）
（ab） （c） （d）
（3）影象法：（韋恩圖、文氏圖）
影象法常用於解決有限集的計算和抽象的集合的關係
例7、，，，求a、b
例8、u為全集，，則下列結論錯誤的是
（a） （b） （c） （d）
4. 集合的運算（子集；交、並、補集）.
（1）集合的其他運算性質：
（2）對於含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為
例9、，求集合p的個數.
（3）注意補集與命題的否定（）的聯絡.
（命題p為集合p命題為集合）
例10、已知的解集為m,若且，求.
（4）已知集合a和含參集合b的運算問題
①遇到時，你是否注意到「極端」情況：或；
同樣當時，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
②若集合a、b是不等式型的集合，你是否運用了實數軸參與運算？（數形結合法）
注意：弧線同時覆蓋的區域為其交集範圍；只要有弧線覆蓋的區域為其並集範圍。
③在計算過程中，你注意到答案的範圍端點取捨問題嗎？
不等式型：
例11、，，，求的範圍.
變式：，，，求的範圍.
例12、，，，求的範圍.
變式：，，，求的範圍.
例13、，，，求的範圍.
變式1：，，，求的範圍.
變式2：，，，求的範圍.
析：二次含參不等式，注意觀察是非能分解，若能分解將簡化題目，如上述原題；若不能分解可借助三個二次的關係，利用不等式端點與方程的對應關係，再結合根的分布問題，如變式1、2
例14、，，，求的範圍.
變式2：，，，求的範圍.
第二部分：不等式
1.等式的解法.
（1）絕對值不等式.(牢記公式).
①②注意：（1）、（2）公式可記為「大於取兩邊，小於取中間」，但前提必須是
③ ④
注意：（3）、（4）公式不必討論的正負
⑤例15、解不等式
⑥ 法1:零點分段討論（每段內求交，段與段間求並，即「先交後並」）
法2:數形結合法（絕對值的幾何意義），但形如就不適用了.
（2）.一元二次不等式.
解二次不等式的步驟：
①看二次項係數 （正、負-化為正、零-不是二次）.
②用十字相乘法分解，若不能分解判斷的正負,做出草圖.
③結合影象和不等號寫出解集.
尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
例16、解不等式
④ ⑤
（3）.分式、高次不等式.
穿針引線法：
例17、解不等式
2.含參不等式的解法.（分類討論思想）
按正常解法進行，當因為引數不同而導致有不同解答路徑時，討論引數按對應的不同路徑分開進行，從而使問題得到完整的解決。
注意：①關鍵是掌握好分類標準
②討論引數時，要對引數所在範圍討論完整，做到不重不漏。
③討論完畢，要有總結，而且是分類寫出解集。
④注意分類討論與分段討論的區別，分段討論是討論的和求的相同，如：零點分段討論；分類討論是討論的和求的不同，如：解含參不等式，討論引數a求的是x。
例18、解不等式
④注意：含參二次，往往能分解，若不能分解，如③，也還是按基本的解二次的方法往下做，尋找分類標準。
3.不等式解集的逆用 （知解集，求參）
（1）利用解集的端點與不等式對應的方程的根的關係解題
例19、①的解集是，求a和b。
②的解集是，求a和b。
③的解集是，求a。
④已知不等式 ax2+bx+c>0的解集為{x| –20的解集。
（2）解集無端點時，常見題型：有解、無解、恆成立
例20、①恆成立，求的範圍。
②解集為，求的範圍。
析：關鍵是求出的範圍，再用最值來解決；
;能幫你快速解題
例21、恆成立，求的範圍。
析：在上恆成立或
4.一元二次方程根的分布理論。
（1）. ①方程在上有兩根(兩根都大於k)、②在（m,n）上有兩根（兩根在兩點之內）、③在和（兩根在兩點兩邊）上各有一根的充要條件分別是什麼？
（、、）。 根的分布理論成立的前提是開區間，
（2）.若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，再令和檢查端點的情況．
例22、已知函式在區間上至少存在乙個實數，使，求實數的取值範圍答：）
第三部分：簡易邏輯
1.復合命題真假的判斷。
「或命題」的真假特點是「有真即真，要假全假」；
「且命題」的真假特點是「有假即假，要真全真」；
「非命題」的真假特點是「真假相反」。
「非命題」即「命題的否定」，常見的否定詞有：
例23、在下列說法中：⑴「且」為真是「或」為真的充分不必要條件；
⑵「且」為假是「或」為真的充分不必要條件；
⑶「或」為真是「非」為假的必要不充分條件；
⑷「非」為真是「且」為假的必要不充分條件。其中正確的是_______（答：⑴⑶）
2.四種命題及其相互關係。
若原命題是「若p則q」，則逆命題為「若q則p」；否命題為「若﹁p 則﹁q」 ；逆否命題為「若﹁q 則﹁p」。
提醒：（1）互為逆否關係的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；
（2）在寫出乙個含有「或」、「且」命題的否命題時，要注意「非或即且，非且即或」；
（3）要注意區別「否命題」與「命題的否定」：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；
例24、已知命題「若p則q」，這一命題的否定是s,則s的否命題是______（答：若﹁p則q）
（4）對於條件或結論是不等關係或否定式的命題，一般利用等價關係判斷其真假，這也是反證法的理論依據。
（5）哪些命題宜用反證法？
3.充要條件。
判斷充要性的具體步驟：（三步）
（1） 首先，分清問題中誰是條件，誰是結論（劃主謂賓）。 常見有兩種情況要區分好：
例25、①「」是「」的條件。
②「」的條件是「」。（答：①充分不必要；②必要不充分）
（2） 然後，對問題中的條件和結論變形、化簡，並確定兩者的推出關係，常見有四種方法
可以找出其中誰推出誰：
1 定義法：
例26、「和都是偶數」是「是偶數」的條件。 （答：充分不必要）
2 集合法：「小大」 （多數時候用集合法）
從集合角度解釋: 若，則；若，則。
例27、設命題p：；命題q:。若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實數a的取值範圍是答：）
3 傳遞法： 用符號做出示意圖
例28、p是r的充要條件，r的充分不必要條件是s，s是┐q的必要條件，則┐p是q的
條件答：充分不必要）
4 逆否命題法： 正難則反思想（「」 「」）
例29、「或」 是「」 的條件答：必要不充分）
（3）最後，牢記①由條件可推出結論，則條件是結論成立的充分條件；
②由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。 便可判斷出充要性。
第一章集合
第一章集合與函式概念 1.1集合的含義及其表示 題型一 是否構成集合的判斷題 例1 考查下列每組物件能否構成乙個集合 1 著名的數學家 2 高一 3 班所有高個子同學 3 不超過20的非負數 4 方程在實數範圍內的解 5 直角座標平面內第一象限的一些點 6 的近似值的全體。題型二 集合三要素的有關問...
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