潮陽區金堡中學2015-2016學年度第二學期
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．）
（1）若全集u=r，集合，，則＝（ ）
（a） （b） （c） （d）
（2）已知，是虛數單位，若與互為共軛複數，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
（3）下列說法中正確的是（ ）
（a）「」是「函式是奇函式」的充要條件
（b）若，則
（c）若為假命題，則，均為假命題
（d）命題「若，則」的否命題是「若，則」
（4）已知在上是奇函式,且滿足,當時,
，則（ ）
（abc） （d）
（5）執行如圖所示的程式框圖，輸出的結果為（ ）
（ab）
（cd）
（6）各項均為正數的等差數列中，，則前12項和的最小值為（ ）
（a） （b） （c） （d）
（7）乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中正檢視與側檢視都是斜邊長為2的
直角三角形，俯檢視是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個幾何
體的體積為（ ）
（a） （b） （c） （d）
（8）已知，且，函式的影象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於，則的值為（ ）
（a） （b） （c） （d）
（9）若實數滿足約束條件則的取值範圍是（ ）
（a） （b） （c） （d）
（10）過雙曲線的乙個焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一條漸近線交於點，若，則此雙曲線的離心率為（ ）
（abc）2d）
（11）將5位同學分別保送到北京大學，上海交通大學，中山大學這3所大學就讀，每所大學至少保送1人，則不同的保送方法共有（ ）
（a） 150種b） 180種c） 240種d）540種
（12）已知的三個頂點，，的座標分別為，o為座標原點，動點滿足，則的最小值是（ ）
（abcd）
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．）
（13）已知向量，滿足，在方向上的投影是，則
（14）已知，則
（15）展開式中的常數項為，則
（16）已知為r上的連續可導函式，且，則函式
的零點個數為
三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）
（17）（本小題滿分12分）設為數列的前項和，已知，對任意，都有．
(ⅰ)求數列的通項公式； (ⅱ）若數列的前項和為,求證：.
（18）（本小題滿分12分）已知函式,（）的最小正週期為。
（1）求的值及的單調遞增區間；
（2）在銳角δabc中，δabc所對的邊分別為，，，且，求δabc的面積．
（19）（本小題滿分12分）如圖，在三稜柱中，側稜底面，，， 分別是線段的中點，過線段的中點作的平行線，分別交，於點，．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（20）（本小題滿分12分）計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方公尺）都在40以上.
其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，並假設各年的年入流量相互獨立．
（ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（ⅱ）水電站希望安裝的發電機盡可能執行，但每年發電機最多可執行台數受年入流量限制，並有如下關係：
若某台發電機執行，則該台發電機年利潤為5000萬元；若某台發電機未執行，則該台發電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
（21）（本小題滿分12分）已知函式（為自然對數的底數，為常數）在點處的切線斜率為.
（ⅰ）求的值及函式的極值； （ⅱ）證明：當時，；
（）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.
請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答。注意：只能坐所選定的題目。如果多做，則按所做的第乙個題目計分，做答時請用2b鉛筆在答題卡上將所選題號後的方框塗黑。
（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，於點，以為直徑的圓與交於點
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若，點**段上移動，,
與相交於點，求的最大值．
（23）（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，已知曲線：（為引數）與曲線： (為引數，)．
（ⅰ）若曲線與曲線有乙個公共點在軸上，求的值；
（ⅱ）當時，曲線與曲線交於，兩點，求，兩點的距離．
（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知定義在r上的函式，，存在實數使成立．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）若，，求證：．
高三理科數學大考試卷（1）（答案）
一．選擇題：cadbb dabbc aa
二．填空題：13、2 14、 15、或（答對2個給5分，答對1個給3分） 16、0
三．解答題：17、證明：（ⅰ）因為，當時，，
兩式相減，得， 即，
所以當時，. 所以. 因為，所以.
（ⅱ）因為，，，所以．
所以．因為，所以．因為在上是單調遞減函式，
所以在上是單調遞增函式．所以當時，取最小值． 所以.
18、（1）
所以即令， 則
故函式的單調遞增區間為
即則由餘弦定理知，
所以（19）（1）證明：因為,是的中點,所以,.
因為，分別為，的中點，所以． 所以.
因為平面,平面，所以.
又因為在平面內,且與相交,所以平面.
（2）設.如圖,過作平行於,以為座標原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角座標系(點與點重合)．
則,.因為為的中點,所以分別為的中點,
故,所以, ,．
設平面的法向量為，
則即故有
從而取,則,
所以是平面的乙個法向量． 設平面的法向量為,
則即故有
從而取,則,所以是平面的乙個法向量． 設二面角的平面角為,又為銳角，
則.故二面角的余弦值為.
（20）解：（i）依題意，
，． 由二項分布，在未來4年中至多有1年入流量超過120的概率為：
．（ⅱ）記水電站年總利潤為（單位：萬元），
由於水庫年入流量總大於40,所以至少安裝1臺．
①安裝1臺發電機的情形：
由於水庫年入流量總大於40，所以一台發電機執行的概率為1，
對應的年利潤，．
②安裝2臺發電機的情形：
當時，一台發電機執行，此時，
因此．當時，兩台發電機執行，此時，
因此.所以的分布列如下：
所以．③安裝3臺發電機的情形：
當時，一台發電機執行，此時，
因此．當時，兩台發電機執行，此時，
此時．當時，三颱發電機執行，此時，
因此．所以的分布列如下：
所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝2臺發電機．
（21）（）解：由，得.
因為,所以． 所以，.
令,得．
當時,單調遞減；當時,單調遞增.
所以當時,取得極小值,且極小值為無極大值．
（ⅱ）證明：令,則.
由（）得,故在r上單調遞增．
所以當時，，即．
（ⅲ）證明一：①若,則.
由（ⅱ）知，當時，.所以當時,.
取,當時，恒有．
②若,令, 要使不等式成立，只要成立．
而要使成立，則只要,只要成立．
令,則.
所以當時,在內單調遞增.
取,所以在內單調遞增.
又，易知．
所以.即存在,當時，恒有．
綜上，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．
證明二：對任意給定的正數，取，
由（ⅱ）知，當時，，所以．
當時，．
因此，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．
證明三：首先證明當時，恒有．
令，則．由（ⅱ）知，當時，，
從而，在上單調遞減。
所以，即． 取，當時，有．
因此，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有．
（22）解：（ⅰ） 在中，，於點，
所以，因為是圓的切線，由切割線定理得．所以．
（ⅱ）因為，所以．
因為線段的長為定值，即需求解線段長度的最小值． 弦中點到圓心的距離最短，此時為的中點，點與點或重合．因此．
（23）解：（ⅰ）曲線：的直角座標方程為．曲線與軸交點為．
曲線：的直角座標方程為． 曲線與軸交點為．
由，曲線與曲線有乙個公共點在x軸上，知．
（ⅱ）當時, 曲線：為圓．
圓心到直線的距離．
所以兩點的距離．
（24）解：（ⅰ）因為．
要使不等式有解，則，解得．
因為，所以．
（ⅱ）因為，所以，即．
所以．（當且僅當時，即，等號成立）故．
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