2023年奉賢區調研測試
高三數學試卷
時間120分鐘 ，分值150 分2015、1、8
一、填空題（每空正確3分，滿分36分）
1．已知全集，集合，則 .
2．某工廠生產、、三種不同型號的產品，產品數量之比依次為，現用分層抽樣的方法抽出乙個容量為的樣本，其中種型號產品有件，那麼此樣本的容量 .
3．設，，若是的充分條件，則實數的取值範圍是 .
4．若雙曲線的乙個焦點是，則實數 .
5．已知圓與直線相切，則圓的半徑
6．若是實係數一元二次方程的乙個根，則 .
7．盒子裡裝有大小質量完全相同且分別標有數字、、、的四個小球，從盒子裡隨機摸出兩個小球，那麼事件「摸出的小球上標有的數字之和為」的概率是 .
8．函式的反函式為 .
9．在中，已知，且的面積，則的值為 .
10．已知為單位矩陣，且，則 .
11．如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（**段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉一周，則所形成的幾何體的體積為 .
12．定義函式，則函式在區間內的所有零點的和為 .
二、單項選擇題（每題正確3分，滿分36分）
13．正方體中兩條面對角線的位置關係是
a．平行b．異面
c．相交d．平行、相交、異面都有可能
14．下列命題中正確的是
a．任意兩複數均不能比較大小b．複數是實數的充要條件是
c．複數是純虛數的充要條件是 d．的共軛複數是
15．與函式有相同影象的乙個函式是
ab．cd．16．下列函式是在上為減函式的是
a． bcd．
17．在空間中，設、是不同的直線，、是不同的平面，且，，則下列命題正確的是
a．若，則b．若、異面，則、平行
c．若、相交，則、相交d．若，則
18．設是函式影象上任意一點，則下列各點中一定在該影象上的是 （ ）
a． bcd．
19．設橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，若，則該橢圓的方程為
a． b． c． d．
20．在二項式的展開式中，係數最大項的係數是
abcd．
21．已知數列的首項，，則下列結論正確的是
a．數列是等比數列b．數列是等比數列
c．數列是等差數列d．數列是等差數列
22．在中，，則角的取值範圍是
abcd．
23．對於使成立的所有常數中，我們把的最小值叫做的上確界，若、且，則的上確界為
abcd．
24．定義兩個實數間的一種新運算「」：，、。對於任意實數、、，給出如下結論：①；②；③．其中正確結論的個數是
a．個 b．個c．個 d．個
三、解答題（7+7+8+13+13+14+16=78分）(寫出必要的解題步驟)
25．判斷函式的奇偶性．
26．如圖，四稜錐的側稜都相等，底面是正方形，為對角線、的交點，，求直線與面所成的角的大小．
27．已知函式，求的最小正週期，並求在區間上的最大值和最小值．
28．為了加強環保建設，提高社會效益和經濟效益，某市計畫用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車。今年初投入了電力型公交車輛，混合動力型公交車輛，計畫以後電力型車每年的投入量比上一年增加，混合動力型車每年比上一年多投入輛．設、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量，設、分別為年裡投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數量。
（1）求、，並求年裡投入的所有新公交車的總數；
（2）該市計畫用年的時間完成全部更換，求的最小值．
29．曲線是平面內到直線和直線的距離之積等於常數的點的軌跡，設曲線的軌跡方程．
（1）求曲線的方程；
（2）定義：若存在圓使得曲線上的每一點都落在圓外或圓上，則稱圓為曲線的收斂圓．判斷曲線是否存在收斂圓？若存在，求出收斂圓方程；若不存在，請說明理由．
30．對於正項數列，若對一切恆成立，則對也恆成立是真命題．
（1）若，，且，求證：數列前項和；
（2）若，，求證：．
31．設是定義在上的函式，若對任何實數以及中的任意兩數、，恒有，則稱為定義在上的函式．
（1）證明函式是定義域上的函式；
（2）判斷函式是否為定義域上的函式，請說明理由；
（3）若是定義域為的函式，且最小正週期為，試證明不是上的函式．
2023年1月奉賢區高三數學調研測試參考解答
一、填空題（每題3分）
1． 234．
5678．
9101112．
二、單項選擇題（每題3分）
13．d 14．b 15．d 16．a 17．c 18．b
19．a 20．c 21．b 22．c 23．a 24．d
三、解答題（7+7+8+13+13+14+16=78分）
251分
所以函式的定義域是2分
定義域關於原點對稱3分
4分5分
而6分所以是奇函式不是偶函式7分
26．為正方形，為、的中點，
又2分因為與交於一點，
平面4分
為直線與平面所成的角5分
在6分所以直線與平面所成的角為7分
27．解：
2分4分
5分因為，所以6分
當時，即時，的最大值為7分
當時，即時，的最小值為8分
28．（1）設、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量，
依題意知，數列是首項為、公比為的等比數列； 1分
數列是首項為、公差為的等差數列2分
所以數列的前和4分
數列的前項和6分
所以經過年，該市更換的公交車總數
7分（2）因為、是關於的單調遞增函式， 9分
因此是關於的單調遞增函式10分
所以滿足的最小值應該是11分
即，解得12分
又，所以的最小值為14713分
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