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1. （2014湖北宜昌,第23題11分）在矩形abcd中，=a，點g，h分別在邊ab，dc上，且ha=hg，點e為ab邊上的乙個動點，連線he，把△ahe沿直線he翻摺得到△fhe．
（1）如圖1，當dh=da時，
①填空：∠hga= 45 度；
②若ef∥hg，求∠ahe的度數，並求此時的最小值；
（2）如圖3，∠aeh=60°，eg=2bg，連線fg，交邊fg，交邊dc於點p，且fg⊥ab，g為垂足，求a的值．
4. （2014青島，第24題12分）已知：如圖，菱形abcd中，對角線ac，bd相交於點o，且ac=12cm，bd=16cm．點p從點b出發，沿ba方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線ef從點d出發，沿db方向勻速運動，速度為1cm/s，ef⊥bd，且與ad，bd，cd分別交於點e，q，f；當直線ef停止運動時，點p也停止運動．連線pf，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，四邊形apfd是平行四邊形？
（2）設四邊形apfe的面積為y（cm2），求y與t之間的函式關係式；
（3）是否存在某一時刻t，使s四邊形apfe：s菱形abcd=17：40？若存在，求出t的值，並求出此時p，e兩點間的距離；若不存在，請說明理由．
5．（2014重慶a,第26題12分）已知：如圖①，在矩形abcd中，ab=5，ad=，ae⊥bd，垂足是e．點f是點e關於ab的對稱點，連線af、bf．
（1）求ae和be的長；
（2）若將△abf沿著射線bd方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點b沿bd方向所經過的線段長度）．當點f分別平移到線段ab、ad上時，直接寫出相應的m的值．
（3）如圖②，將△abf繞點b順時針旋轉乙個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△abf為△a′bf′，在旋轉過程中，設a′f′所在的直線與直線ad交於點p，與直線bd交於點q．是否存在這樣的p、q兩點，使△dpq為等腰三角形？若存在，求出此時dq的長；若不存在，請說明理由．
考點： 幾何變換綜合題．
分析： （1）利用矩形性質、勾股定理及三角形面積公式求解；
（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；
（3）在旋轉過程中，等腰△dpq有4種情形，如答圖3所示，對於各種情形分別進行計算．
解答： 解：（1）在rt△abd中，ab=5，ad=，
由勾股定理得：bd===．
∵s△abd=bdae=abad，∴ae===4．
在rt△abe中，ab=5，ae=4，由勾股定理得：be=3．
（2）設平移中的三角形為△a′b′f′，如答圖2所示：
由對稱點性質可知，∠1=∠2．
由平移性質可知，ab∥a′b′，∠4=∠1，bf=b′f′=3．
①當點f′落在ab上時，∵ab∥a′b′，
∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，
∴bb′=b′f′=3，即m=3；
②當點f′落在ad上時，∵ab∥a′b′，
∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，又易知a′b′⊥ad，
∴△b′f′d為等腰三角形，
∴b′d=b′f′=3，
∴bb′=bd﹣b′d=﹣3=，即m=．
（3）存在．理由如下：
在旋轉過程中，等腰△dpq依次有以下4種情形：
①如答圖3﹣1所示，點q落在bd延長線上，且pd=dq，易知∠2=2∠q，
∵∠1=∠3+∠q，∠1=∠2，
∴∠3=∠q，
∴a′q=a′b=5，
∴f′q=f′a′+a′q=4+5=9．
在rt△bf′q中，由勾股定理得：bq===．
∴dq=bq﹣bd=﹣；
②如答圖3﹣2所示，點q落在bd上，且pq=dq，易知∠2=∠p，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠p，
∴ba′∥pd，則此時點a′落在bc邊上．
∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴bq=a′q，
∴f′q=f′a′﹣a′q=4﹣bq．
在rt△bqf′中，由勾股定理得：bf′2+f′q2=bq2，
即：32+（4﹣bq）2=bq2，
解得：bq=，
∴dq=bd﹣bq=﹣=；
③如答圖3﹣3所示，點q落在bd上，且pd=dq，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°﹣∠2．
∵∠1=∠2，∴∠4=90°﹣∠1．
∴∠a′qb=∠4=90°﹣∠1，
∴∠a′bq=180°﹣∠a′qb﹣∠1=90°﹣∠1，
∴∠a′qb=∠a′bq，
∴a′q=a′b=5，
∴f′q=a′q﹣a′f′=5﹣4=1．
在rt△bf′q中，由勾股定理得：bq===，
∴dq=bd﹣bq=﹣；
④如答圖3﹣4所示，點q落在bd上，且pq=pd，易知∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，
∴bq=ba′=5，∴dq=bd﹣bq=﹣5=．
綜上所述，存在4組符合條件的點p、點q，使△dpq為等腰三角形；
dq的長度分別為﹣、、﹣或．
點評： 本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識點．第（3）問難度很大，解題關鍵是畫出各種旋轉圖形，依題意進行分類討論；在計算過程中，注意識別旋轉過程中的不變數，注意利用等腰三角形的性質簡化計算．
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