第6章一元一次方程教案
6．1從實際問題到方程
教學目的
1．通過對多個實際問題的分析，使學生體會到一元一次方程作為實際問題的數學模型的作用。
2．使學生會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。
3．會判斷乙個數是不是某個方程的解。
重點、難點
1．重點：會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。
2．難點：弄清題意，找出「相等關係」。
教學過程
一、複習提問
小學裡已經學過列方程解簡單的應用題，讓我們回顧一下，如何列方程解應用題?
例如：一本筆記本1．2元。小紅有6元錢，那麼她最多能買到幾本這樣的筆記本呢?
解：設小紅能買到工本筆記本，那麼根據題意，得
1.2x＝6
因為1.2×5＝6，所以小紅能買到5本筆記本。
二、新授：
我們再來看下面乙個例子：
問題1：某校初中一年級328名師生乘車外出春遊，已有2輛校車可以乘坐64人，還需租用44座的客車多少輛?
問：你能解決這個問題嗎?有哪些方法?
(讓學生思考後，回答，教師再作講評)
算術法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(輛)
列方程解應用題：
設需要租用x輛客車，那麼這些客車共可乘44x人，加上乘坐校車的64人，就是全體師生328人，可得。
44x+64＝328 （1）
解這個方程，就能得到所求的結果。
問：你會解這個方程嗎?試試看?
(學生可能利用逆運算求解，教師加以肯定，同時指出本章裡我們將要學習解方程的另一種方法。)
問題2：在課外活動中，張老師發現同學們的年齡大多是13歲，就問同學：「我今年45歲，幾年以後你們的年齡是我年齡的三分之一?」
小敏同學很快說出了答案。「三年」。他是這樣算的：
1年後，老師46歲，同學們的年齡是14歲，不是老師的三分之一。
2年後，老師47歲，同學們的年齡是15歲，也不是老師的三分之一。
3年後，老師48歲，同學們的年齡是16歲，恰好是老師的三分之一。
你能否用方程的方法來解呢？
通過分析，列出方程：13＋x＝（45＋x） （2）
問：你會解這個方程嗎?你能否從小敏同學的解法中得到啟發？
這個方程不像例l中的方程(1)那樣容易求出它的解，小敏同學的方法啟發了我們，可以用嘗試，檢驗的方法找出方程(2)的解。也就是只要將x＝1，2，3，4，……代人方程(2)的兩邊，看哪個數能使兩邊的值相等，這個數就是這個方程的解。
把x＝3代人方程(2)，左邊＝13+3＝16，右邊＝(45+3)＝×48＝16，
因為左邊＝右邊，所以x＝3就是這個方程的解。
這種通過試驗的方法得出方程的解，這也是一種基本的數學思想方法。也可以據此檢驗一下乙個數是不是方程的解。
問：若把例2中的「三分之一」改為「二分之一」，那麼答案是多少?
同學們動手試一試，大家發現了什麼問題?
同樣，用檢驗的方法也很難得到方程的解，因為這裡x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整數，該從何試起?如何試驗根本無法人手，又該怎麼辦?
這正是我們本章要解決的問題。
三、鞏固練習
1．教科書第3頁練習1、2。
2．補充練習：檢驗下列各括號內的數是不是它前面方程的解。
(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)
(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝ 2)
(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)
四、小結。本節課我們主要學習了怎樣列方程解應用題的方法，解決一些實際問題。談談你的學習體會。
五、作業。教科書第3頁，習題6.1第1、3題。
6.2解一元一次方程
1．方程的簡單變形
教學目的
通過天平實驗，讓學生在觀察、思考的基礎上歸納出方程的兩種變形，並能利用它們將簡單的方程變形以求出未知數的值。
重點、難點
1．重點：方程的兩種變形。
2．難點：由具體例項抽象出方程的兩種變形。
教學過程
一、引入
上一節課我們學習了列方程解簡單的應用題，列出的方程有的我們不會解，我們知道解方程就是把方程變形成x＝a形式，本節課，我們將學習如何將方程變形。
二、新授
讓我們先做個實驗，拿出預先準備好的天平和若干砝碼。
測量一些物體的質量時，我們將它放在天乾的左盤內，在右盤內放上砝碼，當天平處於平衡狀態時，顯然兩邊的質量相等。
如果我們在兩盤內同時加入相同質量的砝碼，這時天平仍然平衡，天平兩邊盤內同時拿去相同質量的砝碼，天平仍然平衡。
如果把天平看成乙個方程，課本第4頁上的圖，你能從天平上砝碼的變化聯想到方程的變形嗎?
讓同學們觀察圖6.2.1的左邊的天平；天平的左盤內有乙個大砝碼和2個小砝碼，右盤上有5個小砝碼，天平平衡，表示左右兩盤的質量相等。
如果我們用x表示大砝碼的質量，1表示小砝碼的質量，那麼可用方程x+2＝5表示天平兩盤內物體的質量關係。
問：圖6.2.1右邊的天平內的砝碼是怎樣由左邊天平變化而來的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5變形得到的?
學生回答後，教師歸納：方程兩邊都減去同乙個數，方程的解不變。
問：若把方程兩邊都加上同乙個數，方程的解有沒有變?如果把方程兩邊都加上(或減去)同乙個整式呢?
讓同學們看圖6.2.2。左天平兩盤內的砝碼的質量關係可用方程表示為3x＝2x+2，右邊的天平內的砝碼是怎樣由左邊天平變化而來的?
把天平兩邊都拿去2個大砝碼，相當於把方程3x＝2x+2兩邊都減去2x，得到的方程的解變化了嗎?如果把方程兩邊都加上2x呢?
由圖6.2.1和6.2.2可歸結為；
方程兩邊都加上或都減去同乙個數或同乙個整式，方程的解不變。
讓學生觀察(3)，由學生自己得出方程的第二個變形。
即方程兩邊都乘以或除以同乙個不為零的數，方程的解不變：
通過對方程進行適當的變形．可以求得方程的解。
例1．解下列方程
(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4
解：(1) 兩邊都加上5，得x＝7+5 即 x＝12
(2) 兩邊都減去3x，得x＝3x－4－3x 即 x＝－4
請同學們分別將x＝7+5與原方程x－5＝7；x＝3x－4－3與原方程4x＝3x－4比較，你發現了這些方程的變形。有什麼共同特點?
這就是說把方程兩邊都加上(或減去)同乙個數或同乙個整式，就相當於把方程中的某些項改變符號後，從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。
注意：「移項』』是指將方程的某一項從等號的左邊移到右邊或從右邊移到左邊，移項時要先變號後移項。
例2．解下列方程
(1)－5x＝2 (2) x＝
這裡的變形通常稱為「將未知數的係數化為1」。
以上兩個例題都是對方程進行適當的變形，得到x＝a的形式。
練習：課本第6頁練習1、2、3。
練習中的第3題，即第2頁中的方程①先讓學生討論、交流。
鼓勵學生採用不同的方法，要他們說出每一步變形的根據，由他們自己得出採用哪種方法簡便，體會方程的不同解法中所經歷的轉化思想，讓學生自己體驗成功的感覺。
三、鞏固練習
教科書第7頁，練習
四、小結
本節課我們通過天平實驗，得出方程的兩種變形：
1．把方程兩邊都加上或減去同乙個數或整式方程的解不變。
2.把方程兩邊都乘以或除以(不等零)的同乙個數，方程的解不變。第①種變形又叫移項，移項別忘了要先變號，注意移項與在方程的一邊交換兩項的位置有本質的區別。
五、作業
教科書第7—8頁習題6.2.1第1、2、3。
2、解一元一次方程
第一課時
教學目的
1．了解一元一次方程的概念。
2．掌握含有括號的一元一次方程的解法。
重點、難點
1．重點；解含有括號的一元一次方程的解法。
2．難點；括號前面是負號時，去括號時忘記變號。
教學過程
一、複習提問
1．解下列方程：
(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x
2．去括號法則是什麼?「移項」要注意什麼?
二、新授
一元一次方程的概念
前面我們遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 問：大家觀察這些方程，它們有什麼共同特徵?
(提示：觀察未知數的個數和未知數的次數。)
只含有乙個未知數，並且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是l，這樣的方程叫做一元一次方程。
例1．判斷下列哪些是一元一次方程
x＝3x－2 x－3＝－l
5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5
下面我們再一起來解幾個一元一次方程。
例2．解方程 (1) －2(x－1)＝4
2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)
方程(1)該怎樣解?由學生獨立探索解法，並互相交流
此方程既可以先去括號求解，也可以看作關於(x－1)的一元一次方程進行求解。
第(2)題可由學生自己完成後講評，講評時，強調去括號時把括號外的因數分別乘以括號內的每一項，若括號前面是「－」號，注意去掉括號，要改變括號內的每一項的符號。
補充例題：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l
方程中有多重括號，你會解這個方程嗎?
說明：方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最後去大括號的方法去括號，每去一層括號合併同類項一次，以簡便運算。
三、鞏固練習
教科書第9頁，練習，l、2、3。
四、小結
本節課我們學習了一元一次方程的概念，並學習了含有括號的一元一次方程的解法。用分配律去括號時，不要漏乘括號中的項，並且不要搞錯符號。
五、作業
教科書第12頁習題6．2，2第l題。
七年級數學七章知識總結
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