m單元推理與證明
m1 合情推理與演繹推理
圖1－3
17．m1[2013·湖北卷] 在平面直角座標系中,若點p(x,y)的座標x,y均為整數,則稱點p為格點．若乙個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為s,其內部的格點數記為n,邊界上的格點數記為l.例如圖1－3中△abc是格點三角形,對應的s＝1,n＝0,l＝4.
(1)圖中格點四邊形defg對應的s,n,l分別是________；
(2)已知格點多邊形的面積可表示為s＝an＋bl＋c,其中a,b,c為常數,若某格點多邊形對應的n＝71,l＝18,則s用數值作答)．
17．(1)3,1,6 (2)79 [解析] (1)把四邊形面積分割,其中四個面積為的三角形,乙個面積為1的正方形,故其面積為s＝3；四邊形內部只有乙個格點；邊界上有6個格點,故答案為3,6,1.
(2)根據圖中的格點三角形和四邊形可得1＝4b＋c,3＝a＋6b＋c,再選頂點為(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)的格點正方形可得4＝a＋8b＋c,由上述三個方程組解得a＝1,b＝,c＝－1,所以s＝n＋l－1,將已知資料代入得s＝71＋9－1＝79.
16．b7,m1[2013·山東卷] 定義「正對數」：ln＋x＝現有四個命題：
①若a>0,b>0,則ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0,b>0,則ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；
③若a>0,b>0,則ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0,b>0,則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命題有寫出所有真命題的編號)
16．①③④ [解析] ①中,當ab≥1時,∵b>0,∴a≥1,ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；當00,∴0②中,當01時,左邊＝ln＋(ab)＝0,右邊＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0,∴②不成立．
③中,當≤1,即a≤b時,左邊＝0,右邊＝ln＋a－ln＋b≤0,左邊≥右邊,成立；當》1時,左邊＝ln＝ln a－ln b>0,若a>b>1時,右邊＝ln a－ln b,左邊≥右邊成立；若01>b>0,左邊＝ln＝ln a－ln b>ln a,右邊＝ln a,左邊≥右邊成立,∴③正確．
④中,若00,左邊≤右邊；若a＋b≥1,ln＋(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln.
又∵≤a或≤b,a,b至少有1個大於1,
∴ln≤ln a或ln≤ln b,即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b,∴④正確．
13．m1[2013·陝西卷] 觀察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……照此規律,第n個等式可為
13．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
[解析] 結合已知所給定的幾項的特點,可知式子左邊共n項,且從(n＋1)一直到(n＋n),右側第一項為2n,連乘的第一項為1,最後一項為(2n－1),故所求表示式為：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
m2 直接證明與間接證明
20．m2,d2,d3,d5[2013·北京卷] 給定數列a1,a2,…,an,對i＝1,2,…,n－1,該數列前i項的最大值記為ai,後n－i項ai＋1,ai＋2,…,an的最小值記為bi,di＝ai－bi.
(1)設數列為3,4,7,1,寫出d1,d2,d3的值；
(2)設a1,a2,…,an(n≥4)是公比大於1的等比數列,且a1>0.證明：d1,d2,…,dn－1是等比數列；
(3)設d1,d2,…,dn－1是公差大於0的等差數列,且d1>0,證明：a1,a2,…,an－1是等差數列．
20．解：(1)d1＝2,d2＝3,d3＝6.
(2)證明：因為a1>0,公比q>1,
所以a1,a2,…,an是遞增數列．
因此,對i＝1,2,…,n－1,ai＝ai,bi＝ai＋1.
於是對i＝1,2,…,n－1,
di＝ai－bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1,2,…,n－2),
即d1,d2,…,dn－1是等比數列．
(3)證明：設d為d1,d2,…,dn－1的公差．
對1≤i≤n－2,因為bi≤bi＋1,d>0,所以ai＋1＝bi＋1＋di＋1≥bi＋di＋d>bi＋di＝ai.
又因為ai＋1＝max,所以ai＋1＝ai＋1>ai≥ai.
從而a1,a2,…,an－1是遞增數列,因此ai＝ai(i＝1,2,…,n－1)．
又因為b1＝a1－d1＝a1－d1因此an＝b1.
所以b1＝b2＝…＝bn－1＝an.
所以ai＝ai＝bi＋di＝an＋di.
因此對i＝1,2,…,n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d,
即a1,a2,…,an－1是等差數列．
19．m2,h5,h10[2013·北京卷] 直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓w：＋y2＝1相交於a,c兩點,o是座標原點．
(1)當點b的座標為(0,1),且四邊形oabc為菱形時,求ac的長；
(2)當點b在w上且不是w的頂點時,證明：四邊形oabc不可能為菱形．
19．解：(1)因為四邊形oabc為菱形,所以ac與ob相互垂直平分．
所以可設a,代入橢圓方程得＋＝1,即t＝±.
所以|ac|＝2.
(2)證明：假設四邊形oabc為菱形．
因為點b不是w的頂點,且ac⊥ob,所以k≠0.
由消y並整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設a(x1,y1),c(x2,y2),則
＝－,＝k·＋m＝.
所以ac的中點為m.
因為m為ac和ob的交點,且m≠0,k≠0,所以直線ob的斜率為－.
因為k·≠－1,所以ac與ob不垂直．
所以oabc不是菱形,與假設矛盾．
所以當點b不是w的頂點時,四邊形oabc不可能是菱形．
10．m2[2013·浙江卷] 設a,b∈r,定義運算「∧」和「∨」如下：
a∧b＝ a∨b＝
若正數a,b,c,d滿足ab≥4,c＋d≤4,則( )
a．a∧b≥2,c∧d≤2 b．a∧b≥2,c∨d≥2
c．a∨b≥2,c∧d≤2 d．a∨b≥2,c∨d≥2
10．c [解析] 從定義知,a∧b＝min(a,b),即求a,b中的最小值；a∨b＝max(a,b),即求a,b中的最大值；假設02,d>2,則c＋d>4,與已知c＋d≤4相矛盾,則假設不成立,故min(a,b)≤2,即c∧d≤2.故選擇c.
m3 數學歸納法
m4 單元綜合
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