選修2-2 第一章 1.3 1.3.1
一、選擇題
1．在下列結論中，正確的有( )
(1)單調增函式的導數也是單調增函式；
(2)單調減函式的導數也是單調減函式；
(3)單調函式的導數也是單調函式；
(4)導函式是單調的，則原函式也是單調的．
a．0個 b．2個
c．3個 d．4個
[答案] a
[解析] 分別舉反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，故選a.
2．函式f(x)＝ax3－x在r上為減函式，則( )
a．a≤0 b．a<1
c．a<2 d．a≤
[答案] a
[解析] f ′(x)＝3ax2－1≤0恆成立，∴a≤0.
3．設f(x)、g(x)分別是定義在r上的奇函式和偶函式，當x<0時，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
a．(－3,0)∪(3，＋∞)
b．(－3,0)∪(0,3)
c．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
d．(－∞，－3)∪(0,3)
[答案] d
[解析] 設f(x)＝f(x)g(x)，當x<0時，
∵f ′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.
∴f(x)當x<0時為增函式．
∵f(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－f(x)．
故f(x)為奇函式，∴f(x)在(0，＋∞)上亦為增函式．
已知g(－3)＝0，必有f(－3)＝f(3)＝0.
構造如圖的f(x)的圖象，可知f(x)<0的解集為x∈(－∞，－3)∪(0,3)．
故選d.
4．(2016·宣城高二檢測)函式f(x)＝2x＋x3－2在區間(0,1)內的零點個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
[答案] b
[解析] 本小題考查函式的零點與用導數判斷函式的單調性，考查分析問題、解決問題的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2,00在(0,1)上恆成立，∴f(x)在(0,1)上單調遞增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，則f(x)在(0,1)內至少有乙個零點，
又函式y＝f(x)在(0,1)上單調遞增，則函式f(x)在(0,1)內有且僅有乙個零點．
5．設f ′(x)是函式f(x)的導函式，y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是( )
[答案] c
[解析] 由f ′(x)的圖象知，x∈(－∞，0)時，f ′(x)>0，f(x)為增函式，x∈(0,2)時，f ′(x)<0，f(x)為減函式，x∈(2，＋∞)時，f ′(x)>0，f(x)為增函式．
只有c符合題意，故選c.
6．設函式f(x)＝是定義在r上的函式，其中f(x)的導函式f ′(x)滿足f ′(x)a．f(2)>e2f(0)，f(2017)>e2017f(0)
b．f(2)e2017f(0)
c．f(2)d．f(2)>e2f(0)，f(2017)[答案] c
[解析] ∵函式f(x)＝的導數
f ′(x)＝＝<0，
∴函式f(x)＝是定義在r上的減函式，
∴f(2)同理可得f(2017)二、填空題
7．(2016·煙台高二檢測)函式y＝ln(x2－x－2)的單調遞減區間為
[答案] (－∞，－1)
[解析] 函式y＝ln(x2－x－2)的定義域為
(21)，
令f(x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函式y＝ln(x2－x－2)的單調減區間為(－∞，－1)．
8．已知函式f(x)＝x3－ax2－3x在區間[1，＋∞)上是增函式，則實數a的取值範圍是________.
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因為f(x)＝x3－ax2－3x在區間[1，＋∞)上是增函式，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在區間[1，＋∞)上恆成立，
∴解得a≤0，
故答案為(－∞，0]．
9．(2016·長沙高二檢測)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函式，則b的取值範圍是________.
[答案] b≤－1
[解析] f(x)在(－1，＋∞)上為減函式，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恆成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恆成立，∴b≤－1.
三、解答題
10．(2016·太原高二檢測)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈r)的圖象過點p(1,2)，且在點p處的切線斜率為8.
(1)求a、b的值；
(2)求函式f(x)的單調區間．
[解析] (1)∵函式f(x)的圖象過點p(1,2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1
又函式圖象在點p處的切線斜率為8，
∴f ′(1)＝8，
又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5
解由①②組成的方程組，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，
令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f ′(x)<0，可得－3∴函式f(x)的單調增區間為(－∞，－3)，(，＋∞)，單調減區間為(－3，).
一、選擇題
1．(2015·新課標ⅱ理，12)設函式f ′(x)是奇函式f(x)(x∈r)的導函式，f(－1)＝0，當x＞0時，xf ′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值範圍是( )
a．(－∞，－1)∪(0,1) b．(－1,0)∪(1，＋∞)
c．(－∞，－1)∪(－1,0) d．(0,1)∪(1，＋∞)
[答案] a
[解析] 記函式g(x)＝，則g′(x)＝，因為當x>0時，xf ′(x)－f(x)<0，故當x>0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞減；又因為函式f(x)(x∈r)是奇函式，故函式g(x)是偶函式，所以g(x)在(－∞，0)上單調遞增，且g(－1)＝g(1)＝0.當00，則f(x)>0；當x<－1時，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值範圍是(－∞，－1)∪(0,1)，故選a.
2．(2016·北京高二檢測)已知函式f(x)及其導數f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，則稱x0是f(x)的乙個「巧值點」，下列函式中，有「巧值點」的函式的個數是( )
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，
⑤f(x)＝x＋
a．2 b．3
c．4 d．5
[答案] b
[解析] ①中的函式f(x)＝x2，f ′(x)＝2x，要使f(x)＝f ′(x)，則x2＝2x，解得x＝0或2，可見函式有巧值點；對於②中的函式，要使f(x)＝f ′(x)，則e－x＝－e－x，由對任意的x，有e－x>0，可知方程無解，原函式沒有巧值點；對於③中的函式，要使f(x)＝f ′(x)，則lnx＝，由函式f(x)＝lnx與y＝的圖象有交點知方程有解，所以原函式有巧值點；對於④中的函式，要使f(x)＝f ′(x)，則tanx＝，即sinxcosx＝1，顯然無解，所以原函式沒有巧值點；對於⑤中的函式，要使f(x)＝f ′(x)，則x＋＝1－，即x3－x2＋x＋1＝0，設函式g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，顯然函式g(x)在(－1,0)上有零點，原函式有巧值點，故①③⑤正確，選c.
二、填空題
3．已知函式f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的單調減區間為(－1,1)，則a的取值集合為________．
(2)若f(x)在區間(－1,1)內單調遞減，則a的取值集合為________．
[答案] (1) (2)
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的單調減區間為(－1,1)，
∴－1和1是方程f ′(x)＝0的兩根，
∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合為．
(2)∵f(x)在區間(－1,1)內單調遞減，∴f ′(x)<0在(－1,1)內恆成立，又二次函式y＝f ′(x)開口向上，一根為－1，∴必有》1，∴a<0，
∴a的取值集合為．
4．在區間[－a，a](a>0)內圖象不間斷的函式f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，函式g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又當00，則函式f(x)在區間[－a，a]內零點的個數是________.
[答案] 2
[解析] ∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)為偶函式，
∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]>0，
∴g(x)在[0，a]上為單調增函式，
又∵g(0)·g(a)<0，
∴函式g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有乙個零點，
又∵ex≠0，
∴f(x)在[0，a]上有且僅有乙個零點，
∵f(x)是偶函式，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且僅有兩個零點．
三、解答題
5．(2016·廣德高二檢測)已知函式f(x)＝x2＋2alnx.
(1)求函式f(x)的單調區間；
(2)若函式g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是減函式，求實數a的取值範圍．
[解析] (1)f ′(x)＝2x＋＝，
函式f(x)的定義域為(0，＋∞)．
①當a≥0時，f ′(x)>0，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)；
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