金牌教育一對一個性化輔導教案
一．選擇題（共2小題）
1．如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於a、b兩點，過b的直線交拋物線於e，且tan∠eba=，有乙隻螞蟻從a出發，先以1單位/s的速度爬到線段be上的點d處，再以1.25單位/s的速度沿著de爬到e點處覓食，則螞蟻從a到e的最短時間是 s．
2．如圖，△abc在直角座標系中，ab=ac，a（0，2），c（1，0），d為射線ao上一點，一動點p從a出發，運動路徑為a→d→c，點p在ad上的運動速度是在cd上的3倍，要使整個運動時間最少，則點d的座標應為（ ）
a．（0，） b．（0，） c．（0，） d．（0，）
二．填空題（共1小題）
3．如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站a，距離公路5千公尺的地方有一居民點b，a、b的直線距離是10千公尺．一天，居民點b著火，消防員受命欲前往救火．若消防車在公路上的最快速度是80千公尺/小時，而在草地上的最快速度是40千公尺/小時，則消防車在出發後最快經過小時可到達居民點b．（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛．）
三．解答題（共5小題）
4．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y=ax2+bx+c的圖象經過點a（﹣1，0），b（0，﹣），c（2，0），其對稱軸與x軸交於點d
（1）求二次函式的表示式及其頂點座標；
（2）若p為y軸上的乙個動點，連線pd，則pb+pd的最小值為 ；
（3）m（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內存在點n，使得以a，b，m，n為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點n共有個；
②連線ma，mb，若∠amb不小於60°，求t的取值範圍．
5．如圖，在△ace中，ca=ce，∠cae=30°，⊙o經過點c，且圓的直徑ab**段ae上．
（1）試說明ce是⊙o的切線；
（2）若△ace中ae邊上的高為h，試用含h的代數式表示⊙o的直徑ab；
（3）設點d是線段ac上任意一點（不含端點），連線od，當cd+od的最小值為6時，求⊙o的直徑ab的長．
6．如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）（k為常數，且k＞0）與x軸從左至右依次交於a，b兩點，與y軸交於點c，經過點b的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點為d．
（1）若點d的橫座標為﹣5，求拋物線的函式表示式；
（2）若在第一象限內的拋物線上有點p，使得以a，b，p為頂點的三角形與△abc相似，求k的值；
（3）在（1）的條件下，設f為線段bd上一點（不含端點），連線af，一動點m從點a出發，沿線段af以每秒1個單位的速度運動到f，再沿線段fd以每秒2個單位的速度運動到d後停止，當點f的座標是多少時，點m在整個運動過程中用時最少？
7．（1）如圖1，已知正方形abcd的邊長為4，圓b的半徑為2，點p是圓b上的乙個動點，求pd+的最小值和pd﹣的最大值；
（2）如圖2，已知正方形abcd的邊長為9，圓b的半徑為6，點p是圓b上的乙個動點，那麼pd+的最小值為 ，pd﹣的最大值為 ．
（3）如圖3，已知菱形abcd的邊長為4，∠b=60°，圓b的半徑為2，點p是圓b上的乙個動點，那麼pd+的最小值為 ，pd﹣的最大值為 ．
8．如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交於點a（4，0），與y軸交於點b，在x軸上有一動點e（m，0）（0＜m＜4），過點e作x軸的垂線交直線ab於點n，交拋物線於點p，過點p作pm⊥ab於點m．
（1）求a的值和直線ab的函式表示式；
（2）設△pmn的周長為c1，△aen的周長為c2，若=，求m的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段oe繞點o逆時針旋轉得到oe′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連線e′a、e′b，求e′a+e′b的最小值．
2023年05月25日187****4779的初中數學組卷
參***與試題解析
一．選擇題（共2小題）
1．如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於a、b兩點，過b的直線交拋物線於e，且tan∠eba=，有乙隻螞蟻從a出發，先以1單位/s的速度爬到線段be上的點d處，再以1.25單位/s的速度沿著de爬到e點處覓食，則螞蟻從a到e的最短時間是 s．
【分析】過點e作x軸的平行線，再過d點作y軸的平行線，兩線相交於點h，如圖，利用平行線的性質和三角函式的定義得到tan∠hed=tan∠eba==，設dh=4m，eh=3m，則de=5m，則可判斷螞蟻從d爬到e點所用的時間等於從d爬到h點所用的時間相等，於是得到螞蟻從a出發，先以1單位/s的速度爬到線段be上的點d處，再以1.25單位/s的速度沿著de爬到e點所用時間等於它從a以1單位/s的速度爬到d點，再從d點以1單位/s速度爬到h點的時間，利用兩點之間線段最短得到ad+dh的最小值為aq的長，接著求出a點和b點座標，再利用待定係數法求出be的解析式，然後解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定e點座標，從而得到aq的長，然後計算爬行的時間．
【解答】解：過點e作x軸的平行線，再過d點作y軸的平行線，兩線相交於點h，如圖，
∵eh∥ab，
∴∠heb=∠abe，
∴tan∠hed=tan∠eba==，
設dh=4m，eh=3m，則de=5m，
∴螞蟻從d爬到e點的時間==4（s）
若設螞蟻從d爬到h點的速度為1單位/s，則螞蟻從d爬到h點的時間==4（s），
∴螞蟻從d爬到e點所用的時間等於從d爬到h點所用的時間相等，
∴螞蟻從a出發，先以1單位/s的速度爬到線段be上的點d處，再以1.25單位/s的速度沿著de爬到e點所用時間等於它從a以1單位/s的速度爬到d點，再從d點以1單位/s速度爬到h點的時間，
作ag⊥eh於g，則ad+dh≥ah≥ag，
∴ad+dh的最小值為aq的長，
當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則a（﹣1，0），b（3，0），
直線be交y軸於c點，如圖，
在rt△obc中，∵tan∠cbo==，
∴oc=4，則c（0，4），
設直線be的解析式為y=kx+b，
把b（3，0），c（0，4）代入得，解得，
∴直線be的解析式為y=﹣x+4，
解方程組得或，則e點座標為（﹣，），
∴aq=，
∴螞蟻從a爬到g點的時間==（s），
即螞蟻從a到e的最短時間為s．
故答案為．
【點評】本題考查了二次函式與x軸的交點：把求二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點座標化為解關於x的一元二次方程．解決本題的關鍵是確定螞蟻在dh和de上爬行的時間相等．
2．如圖，△abc在直角座標系中，ab=ac，a（0，2），c（1，0），d為射線ao上一點，一動點p從a出發，運動路徑為a→d→c，點p在ad上的運動速度是在cd上的3倍，要使整個運動時間最少，則點d的座標應為（ ）
a．（0，） b．（0，） c．（0，） d．（0，）
【分析】假設p在ad的速度為3，在cd的速度為1，首先表示出總的時間，再根據根的判別式求出t的取值範圍，進而求出d的座標．
【解答】解：假設p在ad的速度為3，在cd的速度為1，
設d座標為（0，y），則ad=2﹣y，cd==，
∴設t=+，
等式變形為：t+y﹣=，則t的最小值時考慮y的取值即可，
∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2=y2+1，
∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1=0，
△=（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，
∴t的最小值為，
∴y=，
∴點d的座標為（0，），
故選d．
解法二：假設p在ad的速度為3v，在cd的速度為1v，
總時間t=+=（+cd），要使t最小，就要+cd最小，
因為ab=ac=3，過點b作bh⊥ac交ac於點h，交oa於d，易證△adh∽△aco，所以==3，所以=dh，因為△abc是等腰三角形，所以bd=cd，所以要+cd最小，就是要dh+bd最小，就要b、d、h三點共線就行了．因為△aoc∽△bod，所以=，即=，所以od=，
所以點d的座標應為（0，）．
【點評】本題考查了勾股定理的運用、一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況以及座標於圖形的性質題目的綜合性較強，難度較大．
二．填空題（共1小題）
3．如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站a，距離公路5千公尺的地方有一居民點b，a、b的直線距離是10千公尺．一天，居民點b著火，消防員受命欲前往救火．若消防車在公路上的最快速度是80千公尺/小時，而在草地上的最快速度是40千公尺/小時，則消防車在出發後最快經過小時可到達居民點b．（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛．）
【分析】要求所用行車時間最短，就要計算好行駛的路線，可以設在公路上行駛x千公尺，根據題意，找出可以運用勾股定理的直角三角形，運用勾股定理求解．
【解答】解：如圖所示，公路上行駛的路線是ad，草地上行駛的路線是db，設ad的路程為x千公尺，
由已知條件ab=10千公尺，bc=5千公尺，bc⊥ac，知
ac==15千公尺．
則cd=ac﹣ad=（15﹣x）千公尺，
bd==km，
設走的行駛時間為y，則
y=+．
整理為關於x的一元二次方程得
3x2+（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．
因為x必定存在，所以△≥0．即
（160y﹣120）2﹣4×3×（1200﹣6400y2）≥0．
化簡得102400y2﹣38400y≥0．
解得y≥，
即消防車在出發後最快經過小時可到達居民點b．
故答案為：．
【點評】本題考查的是在直角三角形中勾股定理的運用，畫出圖形構建直角三角形是關鍵，根據一元二次不等式的求解，可以計算出解的最小值，以便求出最短路程．
三．解答題（共5小題）
4．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y=ax2+bx+c的圖象經過點a（﹣1，0），b（0，﹣），c（2，0），其對稱軸與x軸交於點d
（1）求二次函式的表示式及其頂點座標；
（2）若p為y軸上的乙個動點，連線pd，則pb+pd的最小值為 ；
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