初中數學專題講座---------直線等分面積問題
一、直線等分常見的一些特殊圖形
二、直線等分三角形
（1）不受限制的等分
（2）過一邊上一點等分
三、直線等分梯形
（1）不受限制的等分
（2）過一腰上一點等分
四、等分基本圖形
練習：1、作圖題，請用學過的知識將下圖所示的圖形面積分成相等的兩部分，請用一條直線把陰影部分的面積兩等分．（保留作圖痕跡）
2、在乙個矩形中，把此矩形面積二等分的直線最多有條，這些直線都必須經過此矩形的點（乙個矩形只畫一條直線，不寫畫法）．
3、軸對稱圖形的對稱軸將圖形面積二等分，中心對稱圖形過對稱中心的直線將圖形面積二等分．請用學過的知識將下圖所示的圖形面積分成相等的兩部分．
4、在乙個矩形中，把此矩形面積兩等分的直線最多有條，這些直線都必須經過該矩形
5、在複習「四邊形」時，劉老師出了這樣一道題：
如圖1，已知四邊形abcd、befg都是矩形，點g、h分別在ab、cd上，點b、c、e在同一條直線上．
（1）當s矩形aghd=s矩形cefh時，試畫一條直線將整個圖形面積2等分．（不寫畫法）
（2）①當s矩形aghd＜s矩形cefh時，如圖3；②當s矩形aghd＞s矩形cefh時，如圖4．畫一條直線將整個圖形面積2等分，在（1）的基礎上，應該如何畫圖呢？（不寫畫法，保留作圖痕跡或簡要的文字說明）
（3）小娟和小宇兩位同學的畫法是圖5和圖6：劉老師看過之後說這兩個圖形實質上體現的是一種畫法，請你用簡要的文字說明兩個圖形畫法的共同點：
（把原圖形分割或構造成兩個矩形，再過這兩個矩形對角線的交點畫一條直線）．
6、通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數恒等式
7、如圖所示，abcd內有一圓，請你畫一條直線，同時將圓和平行四邊形的周長二等分．（保留畫圖痕跡，並簡要說出畫圖步驟）
8、提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（ab=bc，且bc≠ac），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的「等分積週線」．嘗試解決：
（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中畫出這條「等分積週線」，從而平分蛋糕．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點c畫了一條直線cd交ab於點d．你覺得小華會成功嗎如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若ab=bc=5cm，ac=6cm，請你找出△abc的所有「等分積週線」，並簡要的說明確定的方法．
9、提出問題：如圖，在「兒童節」前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（ad∥bc），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的「等分積週線」．
嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條「等分積週線」，從而平分蛋糕．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線ef分別交ad、bc於點e、f．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．若圖2中ad∥bc，∠a=90°，ad＜bc，ab=4cm，bc=6cm，cd=5cm．請你找出梯形abcd的所有「等分積週線」，並簡要的說明確定的方法．
10、閱讀下面問題的解決過程：
問題：已知△abc中，p為bc邊上一定點，過點p作一直線，使其等分△abc的面積．
解決：情形1：如圖①，若點p恰為bc的中點，作直線ap即可．
情形2：如圖②，若點p不是bc的中點，則取bc的中點d，連線ap，過點d作de∥ap交ac於e，作直線pe，直線pe即為所求直線．
問題解決：如圖③，已知四邊形abcd，過點b作一直線（不必寫作法），使其等分四邊形abcd的面積，並證明．
11、如圖，把乙個等邊三角形的頂點放置在正六邊形的中心o點，請你借助這個等邊三角形的角，以角為工具等分正六邊形的面積，等分的情況分別為等分．
12、用一條直線把下圖分成面積相等的兩部分．
13、用三種不同的方法把abcd的面積四等分，並簡要說明分法．
14、、如圖，所示，張家兄弟要平分這塊地，請你用一條直線把它分成面積相等的兩部分．（至少有兩種畫法）
15、拋物線y=x2， 和直線x=a（a＞0）分別交於a、b兩點，已知∠aob=90°．
（1）求過原點o，把△aob面積兩等分的直線解析式；
（2）為使直線與線段ab相交，那麼b值應是怎樣的範圍才適合．
16、如圖長為2的線段pq在x的正半軸上，從p、q作x軸的垂線與拋物線y=x2交於點、q′．（1）已知p的座標為（k，0），求直線op′的函式解析式；
（2）若直線op′把梯形p′pqq′的面積二等分，求k的值．
17、一條直線過△abc的內心，且平分三角形的周長，那麼該直線分成的兩個圖形的面積比為（ ）
a．2：1 b．1：1 c．2：3 d．3：1
18、某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等於這條邊上的對應高之比；
（2）有乙個角對應相等的兩個三角形面積之比等於夾這個角的兩邊乘積之比；
…現請你繼續對下面問題進行**，**過程可直接應用上述結論．（s表示面積）問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板abc，p1，p2三等分邊ab，r1，r2三等分邊ac．經**知=s△abc，請證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形abcd，如圖2，q1，q2三等分邊dc．請**與s四邊形abcd之間的數量關係．
問題3：如圖3，p1，p2，p3，p4五等分邊ab，q1，q2，q3，q4五等分邊dc．若s四邊形abcd=1，求．
問題4：如圖4，p1，p2，p3四等分邊ab，q1，q2，q3四等分邊dc，p1q1，p2q2，p3q3將四邊形abcd分成四個部分，面積分別為s1，s2，s3，s4．請直接寫出含有s1，s2，s3，s4的乙個等式．
19、閱讀下面材料，再回答問題：
有一些幾何圖形可以被某條直線分成面積相等的兩部分，我們將「把乙個幾何圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該圖形的二分線」，如：圓的直徑所在的直線是圓的「二分線」，正方形的對角線所在的直線是正方形的「二分線」．
解決下列問題：
（1）菱形的「二分線」可以是
（2）三角形的「二分線」可以是
（3）在下圖中，試用兩種不同的方法分別畫出等腰梯形abcd的「二分線」，並說明你的畫法．
20、用一條直線將乙個直角梯形分成面積相等的兩部分，請你在下面的圖中分別畫出兩種不同的分割圖形．
21、下圖所示是一塊木板的示意圖，能不能用一條直線把這塊木板分成面積相等的兩部分．（3種畫法）
22、如圖所示的圖案是乙個軸對稱圖形，直線l是它的一條對稱軸，如果最大圓的半徑為2，那麼陰影部分面積是（ ）
a．π b．2π c．3π d．4π
23、如圖所示是由7個完全相同的正方形拼成的圖形，請你用一條直線將它分成面積相等的兩部分．（在原圖上作出）．
24、九條直線中的每一條直線都把正方形分成面積比為2：3的兩個四邊形．證明：這九條直線中至少有三條經過同一點．
抽屜原理．專題：證明題．分析：首先根據抽屜定理證明9條直線中的每一條直線都把正方形分成面積比為2：
3的兩個四邊形中至少有5條直線穿過一對邊，然後再根據抽屜原理證明至少必有三點經過同一點．解答：證明：按抽屜原理，9條直線中的每一條直線都把正方形分成面積比為2：
3的兩個四邊形，
則至少有5條直線穿過一對邊．
又2：3≠1：1，
根據「梯形的面積等於中位線長乘以高」，
可知這5條直線必過正方形的一條對邊中點連線上的兩定點．
故若5個點不全經過一點，則必經過這條直線上的兩點，
再據抽屜原理，至少必有三點經過同一點．
25、一條直線平行於直線y=2x-1，且與兩座標軸圍成的三角形面積是4，則直線的解析式是
a．y=2x+4 b．y=2x-4 c．y=2x±4 d．y=x+2
26、把乙個圓心為點o，半徑為r的圓的面積四等分，請你盡可能多地設想各種分割方法．如圖，如果圓心也是點o的三個圓把大圓o的面積四等分．求這三個圓的半徑ob、oc、od的長．
27、已知直線ab與x，y軸分別交於a、b（如圖），ab=5，oa=3，
（1）求直線ab的函式表示式；
（2）如果p是線段ab上的乙個動點（不運動到a，b），過p作x軸的垂線，垂足是m，連線po，設om=x，圖中哪些量可以表示成x的函式？試寫出5個不同的量關於x的函式關係式．（這裡的量是指圖中某些線段的長度或某些幾何圖形的面積等）
28、（1）如圖1所示，已知△abc中，d為bc的中點，請寫出圖1中，面積相等的三角形理由是2）如圖2所示，已知：平行四邊形a′abc，d為bc中點，請你在圖中過d作一條線段將平行四邊形a′abc的面積平分，平分平行四邊形a′abc的方法很多，一般地過
畫直線總能將平行四邊形a′abc的面積平分．
（3）如圖3所示，已知：梯形abca′中，aa′∥bc，d為bc中點，請你在圖3中過d作一條線段將梯形的面積等分．
（4）如圖4所示，某承包人要在自己梯形abcd（ad∥bc）區域內種兩種等面積的作物，並在河岸ad與公路bc間挖一條水渠ef，ef左右兩側分別種植了玉公尺、小麥，為了提高效益，要求ef最短．
交點問題及直線圍成的面積問題
方法 兩直線交點座標必滿足兩直線解析式，求交點就是聯立兩直線解析式求方程組的解 複雜圖形 外補內割 即 往外補成規則圖形，或分割成規則圖形 三角形 往往選擇座標軸上的線段作為底，底所對的頂點的座標確定高 1 直線經過 1,2 3,4 兩點，求直線與座標軸圍成的圖形的面積。2 已知乙個正比例函式與乙個...
九年級培優專題 面積問題與面積方法
用面積方法解題，其基本原理是 首先根據問題中的幾何量與有關圖形面積之間的內在聯絡，用面積表示有關的幾何量 其次把幾何量之間的關係轉化為面積關係，然後通過面積變形，得到原問題的解決方法。面積方法解題有時更具有直觀性 通用性和簡潔性，因此在國內外數學競賽試題中經常出現面積問題。1.三角形的面積公式 1 ...
專題講座初中數學有關函式的問題
宋站中學鄧慶發 練習題1 已知直線過點，且與座標軸所圍成的三角形面積為，求此直線的解析式。2 一次函式和反比例函式的圖象都經過點。1 求一次函式和反比例函式的解析式 2 求一次函式與反比例函式的另乙個交點的座標 3 求的面積。3 已知點，以線段為一邊，在第一象限內作等邊三角形，過作的平行線，交軸於，...