初中數學中最短路徑問題雖然只是乙個課題學習，但它在中學數學中的地位很重要，是大考、小考、競賽中經常涉及的乙個考點。所以我們要對它有足夠的重視。
初中最短路徑問題主要針對軸對稱圖形考慮的。那麼只要涉及軸對稱圖形就有可能產生最短路徑問題。在此之前，我們接觸過的最短距離問題是（1）兩點間直線段最短；（2）點到直線上所有點的距離中，垂線段最短。
（1』）三角形兩邊之和大於第三邊。這三點是我們這裡最短路徑問題的理論基礎（為什麼我們寫（1』）而不是（3），是因為（1』）其實是（1）的乙個特殊情況（推論））。當然這裡主要利用的是（1）。
結合軸對稱圖形和垂直平分線的性質和（1』），最短路徑問題的證明也是我們需要掌握的。
最短路徑問題的實際背景：
1、牧馬回家問題：
牧馬人在a點完成牧馬準備回家，回家前必須牽馬到河邊飲
水後再回到b點的家，問到什麼地點p飲馬，回家的路徑最短
解決辦法：作a點關於河岸的對稱點a』（當然也可以作b點
的對稱點），連線a』b，則a』b與河岸的交點p』既是所求的最短
路徑問題的點。
證明方法：（略）
最短路徑問題一的一般性數學描述：
在對稱圖形的一側有兩點a、b，要在對稱軸上求一點，使得
該點到兩已知點的距離之和最短。（這是對所有軸對稱圖形來講的）
如果不是軸對稱圖形，那麼我們可以用軸對稱的辦法構造軸對
稱圖形。如牧馬問題其實就是構成軸對稱。
既然最短路徑問題是針對所有的軸對稱圖形，那麼今後我們只
要涉及軸對稱圖形，就會有最短路徑問題的數學應用。
最短路徑問題的基本變形：
a、已知角內側有一點，在角兩邊分別求一點，使得三點圍成的三角形周長最短；
如圖，已知∠boc內有一點a、在ob、oc上分別求m、n，使am+an+mn
最小。該問題的的解決方法：
1作a 點關於ob 的對稱點a』；
2作a點關於oc的對稱點a』』；
3連線a』a』』交ob，oc於m』、n』，
則m』，n』即使問題中所要求的點m和n
證明：連線a』m和a』』n，只要證明a』a』』＜a』m+mn+na』』即可。
詳細證明（略）
對於該問題我們要理解它的實質，該問題在實際中有幾個考查點。可以圍繞a
點的角度展開，理由△am』a』和△an』a』』為等腰三角形，還有理由aa』和aa』』的垂直平分線分別是ob和oc，這樣有兩個90°，因此∠o與∠a
互補。等等。該圖形的變形在實際中考的比較多。
b、已知角內側有兩點，在角兩邊分別求一點，使得四點圍成的
四邊形周長最短；
如圖，已知a、b是∠cod內的兩點，分別在∠cod兩邊求點
m和n，使得四邊形amnb的周長最短。
解決方法：
1作a點關於oc的對稱點a』
2作b點關於od的對稱點b』
3連線a』b』交oc、od於m』和n』，
tel：130********-1-
則m』和n』既是問題中所要求的m點和n點。
證明：連線ma』很nb』，只要證明a』b』＜a』m+mn+nb』即可。
詳細證明過程（略）。
該問題本身圖形比較複雜，所以實際中變形形態見的少。掌握其圖形作法和證明方法即可。
2、造橋選址問題
在河流的兩岸有兩點a、b，要在河上造一座橋，要求橋必須垂
直於河岸（假設河兩岸是平行的），問如何選取橋址m，n，使
得an+bm最小。
解決辦法：
1將a（或b）向河岸的垂直方向平移乙個河的寬度到a』；
2連線a』b，則a』b與河對岸的交點為m』，m』點即為橋
址，3過m』做河岸的垂線，角對岸與n』，則m』n』就是所造橋
的兩岸的橋址；
證明方法說明：如圖可連線a』m，我們需要證明的的是an+mm
＞an』+bm』。由作圖過程可知，a』m』=an』，所以只要證明a』m』+m』b＜an+bm，即a』b＜an+bm。連線a』m，則知道an=a』n，所以a』m+mb＞a』a。
造橋選址問題的關鍵在於往河岸垂直方向平移河寬的點與對岸點的連線與對岸的交點是橋址。所以這一點要求大家認識清楚。
造橋選址問題的變形問題：
如圖，在a、b兩點之間有兩條河流，要在兩條河流上分別找兩
座橋cd和ef，要求橋與河岸垂直，且使ab兩點間的距離最短。（也
就是使ac+cd+de+ef+fb最小）。
解決辦法：
1將a向河流1的垂直方向平移河流1的寬度到a』；
2將b向河流2的垂直方向平移河流2的寬度到b』；
3連線a』b』分別交河流1的a的對岸於d』，交河流2的b的
對岸於e』；
則d』，e』分別是兩條河流上造橋的橋址。過d』作河流1對岸的
垂線，垂足為c』，則c』d』既是河流1上的橋；過e』做河流2對岸的
垂線，垂直為f』，則e』f』既是河流2上的橋，此時a到b的最短距
離是ac』+c』d』+d』e』+e』f』+f』b
證明方法提示：連線a』d、b』e，證明a』d+de+b』e＞a』b』即可。
這個問題很典型的詮釋了我們強調的是往河岸垂直方向平移後
的點與對岸點的連線與對岸的交點即為橋址的要求。
該問題對作圖方法要求掌握，並理解證明方法。
3、最短路徑問題的常見形態
下面我們針對我們常見的軸對稱圖形，可能涉及到的最短路徑問題作乙個彙總，對每乙個圖形的最短路徑問題大家要能夠進行理解的記憶。以及最短路徑的點的作圖方法。雖然我們現在還無法求得最短路徑（勾股定理還沒有學），但我們一定要知道最短路徑問題中，點的求解方法，並從本質上理解他。
今後這個問題將是我們解決這一類更複雜問題的基礎。
4、專題訓練：
1.如圖，在直角座標系中，點a 、b 的座標分別為（1，4）和（3,0），點c 是y 軸上的動點，且abc 三點
不在一條直線上，但△abc 的周長最小時，c 點的座標為（）
a 、（0,0）
b 、（0,1）
c 、（0,2）
d 、（0,3）
2.如圖，已知∠aob=40°，點p 關
於oa 、ob 的對稱點分別為c 、d ，cd 交oa 、ob 於m 、n 兩點，則∠mpn 的度數是（
）a 、80°b 、90°c 、100°d 、
120°3.如圖，e 是正方形abcd 的邊ab 上的一點，ae=3，be=1，p 是ac 上一動點，則當pb+pe 為最小值時，點p
在（）a、c 的三等分點
b、ac 的中點
c、de 與ac 的交點
d、以上都不對
4.四邊形abcd 中，∠bad=110°，∠b=∠d=90°，在bc、cd 上分別找
一點m、n，使△amn 的周長最小時，∠amn+∠anm 的度數為（）
a、120°
b、130°
c、110°
d、140°第1
題第2題
第3題5.如圖，在銳角△abc中，ac=42，∠bac=45°，△abc的面積是8
，∠bac的平分線交bc與點d，
m，n分別是ad和ab上的動點，則bm+bn的最小值為6.在直角座標系中有四個點a（-6，3），b（-2
，5），
c（0，m），d（n，0），當四邊形abcd周長最短時，則m+n=；
7.如圖，△abc為等邊三角形，e、f、g分別是ab、ac、bc的中點，點p為線段bc上的一動點，p在
位置△bpg的周長最短；
8.如圖，在△abc中，∠c=90°，cb=ca=4，ab=42，∠a的平分線交bc於點d，若點p、q分別是ac和
ad上的動點，則cq+pq的最小值是；
9.如圖，正方形abcd的邊長為2，m，n分別為ab、ad的中點，在對角線bd上找一點p，是△mnp的周長最
小，則此時pm+pn=；
10.如圖，在△abc中，ab=32，∠cab=15°，m、n分別是ac、
ab上的動點，則bm+mn的最小值是；
是銳角∠bac內部一點，用尺規在ab上找一點p，使點p到ac的距離與pd的和最小，即pd+pe最小。
並證明結論。
12.如圖，∠mon=30°，定點a在om上，定點d在on上，c是om上動點，b是on上動點，用尺規
作圖，求b點和c點，使折線abcd的長度和最短。（說明作圖的做法，並證明得到的點為折線的和最短）
第5題第7題第8題
第9題13.荊州護城河在cc』處直角轉彎，河寬相等，從a處到達b處，需經過兩座橋：dd』，ee『，設護城河及
兩座橋都是東西、南邊向，如何確定兩座橋的位置，使a到b點最短？（說明確定方法及步驟和最短距離的路徑）
14.在某一地方，有條小河和草地，一天某牧民的計畫是從a處的牧場牽著乙隻馬到草地牧馬，再到小河飲
馬，然後回到b處。你能為他設計一條最短的路線嗎？（在n上任意一點即可牧馬，m上任意一點即可飲馬．）（保留作圖痕跡，需要證明）
最後強調說明一下等腰三角形求點問題
動態規劃最短路徑問題
首先，我們來觀察上述演算法。在求b1到e的最短路徑的時候，先求出從c2到e的最短路徑 而在求從b2剄e的最短路徑的時候，又求了一遍從c2剄e的最短路徑。也就是說，從c2到e的最短路徑求了兩遍。同樣可以發現，在求從cl c2剄e的最短路徑的過程中，從dl到e的最短路徑也被求了兩遍。而在整個程式中，從d...
題01最短路徑問題
下圖給出了乙個地圖，地圖中每個頂點代表乙個城市，兩個城市間的連線代表道路，連線上的數值代表道路長度。現在，我們想從城市a到達城市e。怎樣走才能使得路徑最短，最短路徑的長度是多少？設 dis x 為城市x到城市e的最短路徑長度 x表示任意乙個城市 map i，j 表示i，j兩個城市間的距離，若map ...
最短路徑動態規劃問題及其程式設計
摘要 以最短路徑問題為例，在給出佛洛伊德演算法的基礎上，設計了求解該演算法的計算程式，這樣可大大提高最短路徑計算的效率。關鍵字 最短路徑，動態規劃，程式設計 1佛洛伊德演算法 2.動態規劃求解的佛洛伊德演算法程式設計 如下圖所示 給定乙個線路網路，兩點之間連線上的數字表示兩點間的距離，求一條從a到e...