一、內容和內容解析
1．內容
利用軸對稱研究某些最短路徑問題.
2．內容解析
最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段主要以「兩點之間，線段最短」「連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短」為基礎知識，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.【**：21·世紀·教育·網】
本節課以數學史中的乙個經典問題——「將軍飲馬問題」為載體開展對「最短路徑問題」的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為「兩點之間，線段最短」問題．
基於以上分析，確定本節課的教學重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為「兩點之間，線段最短」問題，培養學生解決實際問題的能力.21·世紀*教育網
二、目標和目標解析
1.教學目標
能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想，進一步獲得數學活動的經驗，增強應用意識．
2. 教學目標解析
學生能將實際問題中的「地點」「河」抽象為數學中的「點」「線」，把實際問題抽象為數學問題；能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為「兩點之間，線段最短」問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的「橋梁」作用，感悟轉化思想．2-1-c-n-j-y
三、教學問題診斷分析
最短路徑問題從本質上說是極值問題，作為八年級的學生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的極值問題，更會感到陌生，無從下手.21*cnjy*com
對於直線異側的兩點，怎樣在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，學生很容易想到連線這兩點，所連線段與直線的交點就是所求的點.但對於直線同側的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，一些學生會感到茫然，找不到解決問題的思路.【出處：
21教育名師】
在證明「最短」時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大於所求作的線段和，學生想不到，不會用.【版權所有：21教育】
教學時，教師可從「直線異側的兩點」過渡到「直線同側的兩點」，為學生搭建「腳手架」.在證明「最短」時，教師可告訴學生，證明「最大」「最小」這類問題，常常要另選乙個量，通過與求證的那個「最大」「最小」的量進行比較來證明.由於另取的點具有任意性，所以結論對於直線上的每一點（c點除外）都成立21世紀教育網版權所有
本節課的教學難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題．
四、教學過程設計
1．創設問題情境
問題1 如圖，從a地到b地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？說說你的理由.
師生活動：學生回答問題，說出理由：兩點之間，線段最短.
【設計意圖】讓學生回顧「兩點之間，線段最短」，為引入新課作準備．
問題2：如圖，要在燃氣管道l上修建乙個幫浦站，分別向a、b兩村供氣，幫浦站修在管道的什麼地方，可使所用的輸氣管線最短？www-2-1-cnjy-com
師生活動：學生回答，連線ab，線段ab與l的交點即為幫浦站修建的位置．
【設計意圖】讓學生進一步感受「兩點之間，線段最短」，為把「同側的兩點」轉化為「異側的兩點」做鋪墊．
2．將實際問題抽象為數學問題
問題3 相傳，古希臘亞歷山卓里亞城裡有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教乙個百思不得其解的問題：
從圖中的a 地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，然後到b 地．到河邊什麼地方飲馬可使他所走的路線全程最短？【**：21cnj*
精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題後來被稱為「將軍飲馬問題」．21教育名師原創作品
你能將這個問題抽象為數學問題嗎？
師生活動：學生嘗試回答，並相互補充，最後達成共識:（1）將a，b 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線；（2）在直線l上找到一點c，使ac與bc的和最小？ 21*cnjy*com
【設計意圖】學生通過動手操作，在具體感知軸對稱圖形特徵的基礎上，抽象出軸對稱圖形的概念．
3．解決數學問題
問題4 如圖，點a，b 在直線l 的同側，在直線l上找到一點c，使ac 與bc的和最小？
師生活動：學生獨立思考，嘗試畫圖，相互交流.
如果學生有困難，教師可作如下提示：
（1）如果點b在點a的異側，如何在直線l上找到一點c，使ac 與bc的和最小
（2）現在點b與點a在同側，能否將點b移到l 的另一側點處，且滿足直線l上的任意一點c，都能保持?
（3）你能根據軸對稱的知識，找到（2）中符合條件的點嗎？
師生共同完成作圖，如下圖.
作法：（1）作點b 關於直線l 的對稱點b′；
（2）連線ab′，與直線l 相交於點c．則點c 即為所求．
【設計意圖】教師一步一步引導學生，如何將同側的兩點轉化為異側的兩點，為問題的解決提供思路，滲透轉化思想.
4．證明ac +bc 「最短」
問題4 你能用所學的知識證明ac +bc最短嗎？
師生活動：學生獨立思考，相互交流，師生共同完成證明過程.
證明：如圖，在直線l 上任取一點（與點c 不重合），連線ac′，bc′，．
由軸對稱的性質知，
，．∴，
．在△中，，
∴ ．即ac +bc 最短．
追問1：證明ac +bc最短時，為什麼要在直線l上任取一點（與點c但不重合）？
師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最後達成共識：若直線l上任意一點（與點c不重合）與a，b兩點的距離和都大於ac +bc，就說明ac +bc最小．
【設計意圖】讓學生體會作法的正確性，提高邏輯思維能力．
追問2：回顧前面的**過程，我們是通過怎樣的過程、借助什麼解決問題的？
師生活動：學生回答，相互補充.
【設計意圖】學生在反思中，體會軸對稱的橋梁作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗.
5．鞏固練習
如圖，乙個旅遊船從大橋ab 的p 處前往山腳下的q 處接遊客，然後將遊客送往河岸bc 上，再返回p 處，請畫出旅遊船的最短路徑．21教育網
師生活動:學生分析解題思路，獨立完成畫圖，教師適時點撥.
【設計意圖】讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法．
6．歸納小結
教師和學生一起回顧本節課所學主要內容，並請學生回答以下問題.
（1）本節課研究問題的基本過程是什麼？
（2）軸對稱在所研究問題中起什麼作用？
師生活動：教師引導，學生小結.
【設計意圖】：引導學生把握研究問題的基本策略和方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想的重要價值.21·cn·jy·com
7．布置作業：
教科書複習題13第15題．
五、目標檢測設計
某實驗中學八(1)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的ao，bo)，ao桌面上擺滿了橘子，ob桌面上擺滿了糖果，站在c處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然後到d處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？2·1·c·n·j·y
【設計意圖】考查學生解決「最短路徑問題」的能力.
最短路徑問題 專題
初中數學中最短路徑問題雖然只是乙個課題學習，但它在中學數學中的地位很重要，是大考 小考 競賽中經常涉及的乙個考點。所以我們要對它有足夠的重視。初中最短路徑問題主要針對軸對稱圖形考慮的。那麼只要涉及軸對稱圖形就有可能產生最短路徑問題。在此之前，我們接觸過的最短距離問題是 1 兩點間直線段最短 2 點到...
動態規劃最短路徑問題
首先，我們來觀察上述演算法。在求b1到e的最短路徑的時候，先求出從c2到e的最短路徑 而在求從b2剄e的最短路徑的時候，又求了一遍從c2剄e的最短路徑。也就是說，從c2到e的最短路徑求了兩遍。同樣可以發現，在求從cl c2剄e的最短路徑的過程中，從dl到e的最短路徑也被求了兩遍。而在整個程式中，從d...
題01最短路徑問題
下圖給出了乙個地圖，地圖中每個頂點代表乙個城市，兩個城市間的連線代表道路，連線上的數值代表道路長度。現在，我們想從城市a到達城市e。怎樣走才能使得路徑最短，最短路徑的長度是多少？設 dis x 為城市x到城市e的最短路徑長度 x表示任意乙個城市 map i，j 表示i，j兩個城市間的距離，若map ...