一、事件
1．在條件s下，一定會發生的事件，叫做相對於條件s的必然事件．
2．在條件s下，一定不會發生的事件，叫做相對於條件s的不可能事件．
3．在條件s下，可能發生也可能不發生的事件，叫做相對於條件s的隨機事件．
二、概率和頻率
1．用概率度量隨機事件發生的可能性大小能為我們決策提供關鍵性依據．
2．在相同條件s下重複n次試驗，觀察某一事件a是否出現，稱n次試驗中事件a出現的次數na為事件a出現的頻數，稱事件a出現的比例fn(a)＝為事件a出現的頻率．
3．對於給定的隨機事件a，由於事件a發生的頻率fn(a)隨著試驗次數的增加穩定於概率p(a)，因此可以用頻率fn(a)來估計概率p(a)．
三、事件的關係與運算
四、概率的幾個基本性質
1．概率的取值範圍：0≤p(a)≤1.
2．必然事件的概率p(e)＝1.
3．不可能事件的概率p(f)＝0.
4．概率的加法公式：
如果事件a與事件b互斥，則p(a∪b)＝p(a)＋p(b)．
5．對立事件的概率：
若事件a與事件b互為對立事件，則a∪b為必然事件．p(a∪b)＝1，p(a)＝1－p(b)．
1.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件m：一次正面朝上，一次反面朝上；事件n：至少一次正面朝上．則下列結果正確的是( )
a．p(m)＝ p(n)＝
b．p(m)＝ p(n)＝
c．p(m)＝ p(n)＝
d．p(m)＝ p(n)＝
解析：選d 由條件知事件m包含：(正、反)、(反、正)．事件n包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．
故p(m)＝，p(n)＝.
2．(2012·)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那麼互斥而不對立的事件是( )
a．至少有乙個紅球與都是紅球
b．至少有乙個紅球與都是白球
c．至少有乙個紅球與至少有乙個白球
d．恰有乙個紅球與恰有二個紅球
解析：選d a中的兩個事件不互斥，b中兩事件互斥且對立，c中的兩個事件不互斥，d中的兩個互斥而不對立．
3．在n次重複進行的試驗中，事件a發生的頻率為，當n很大時，p(a)與的關係是( )
a．p(ab．p(a)＜
c．p(ad．p(a)＝
解析：選a 事件a發生的概率近似等於該頻率的穩定值．
4． 2023年倫敦奧運會中國與南韓選手進行女子重劍決賽．中國選手獲勝的概率為0.41.戰平的概率為0.27，那麼中國選手不輸的概率為________．
解析：中國選手不輸的概率為0.41＋0.27＝0.68.
答案：0.68
5．從中隨機選取乙個數為a，從中隨機選取乙個數為b，則a＜b的概率為________．
解析：(文)取出的兩個數用數對表示，則數對(a，b)共有15種，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3種，
故所求概率p＝＝.
(理)從中任取一數a，從中任取一數b，共有5×3＝15種取法，滿足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3種，故所求概率p＝＝.
答案：1.互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有乙個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
2．從集合角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合交集為空集；事件a的對立事件b所含的結果組成的集合，是全集中由事件a所含的結果組成的集合的補集．
典型例題
[例1] (2012·陝西高考)假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現從這兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統計如下：
(1)估計甲品牌產品壽命小於200小時的概率；
(2)這兩種品牌產品中，某個產品已使用了200小時，試估計該產品是甲品牌的概率．
[自主解答] (1)甲品牌產品壽命小於200小時的頻率為＝，用頻率估計概率，所以，甲品牌產品壽命小於200小時的概率為.
(2)根據抽樣結果，壽命大於200小時的產品有75＋70＝145個，其中甲品牌產品是75個，所以在樣本中，壽命大於200小時的產品是甲品牌的頻率為＝，用頻率估計概率，所以已使用了200小時的該產品是甲品牌的概率為.
1．概率是乙個常數，它是頻率的科學抽象，將事件發生的頻率近似地作為它的概率是求一事件概率的基本方法．
2．概率公式p＝(n次試驗中，事件a出現m次)．
1．(2012·泰安月考)在一次摸彩票中獎活動中，一等獎獎金為10 000元，某人摸中一等獎的概率是0.001，這是指( )
a．這個人抽1 000次，必有1次中一等獎
b．這人個每抽一次，就得獎金10 000×0.001＝10元
c．這個人抽一次，抽中一等獎的可能性是0.001
d．以上說法都不正確
解析：選c 摸一次彩票相當於做一次試驗，某人摸中一等獎的概率是0.001，只能說明這個人抽一次，抽中一等獎的可能性是0.
001，而不能說這個人抽1 000次，必有1次中一等獎，也不能說這個人每抽一次，就得獎金10 000×0.001＝10元，因此選c.
[例2] (2012·湖南高考)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等資訊，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關資料，如下表所示：
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客佔55%.
(1)確定x，y的值，並估計顧客一次購物的結算時間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)．
[自主解答] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成乙個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的乙個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為
＝1.9(分鐘)．
(2)記a為事件「一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘」，a1，a2，a3分別表示事件「該顧客一次購物的結算時間為1分鐘」，「該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘」，「該顧客一次購物的結算時間為2分鐘」．將頻率視為概率得p(a1)＝＝，p(a2)＝＝，p(a3)＝＝.
因為a＝a1∪a2∪a3，且a1，a2，a3是互斥事件，所以p(a)＝p(a1∪a2∪a3)＝p(a1)＋p(a2)＋p(a3)＝＋＋＝.
故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.
2．(2012·鄭州模擬)拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數，設事件a為出現奇數點，事件b為出現2點，已知p(a)＝，p(b)＝，則出現奇數點或2點的概率為________．
解析：因為事件a與事件b是互斥事件，所以p(a∪b)＝p(a)＋p(b)＝＋＝.
答案： [例3] 一盒中裝有大小和質地均相同的12個小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1個球，求：
(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；
(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．
[自主解答] 記事件a＝，事件b＝，事件c＝，事件d＝，∴p(a)＝，p(b)＝＝，p(c)＝＝，p(d)＝.
(1)取出的小球是紅球或黑球的概率為p1＝p(a∪b)＝p(a)＋p(b)＝＋＝＝.
(2)法一：取出的小球是紅球或黑球或白球的概率為p2＝p(a∪b∪c)＝p(a)＋p(b)＋p(c)＝＋＋＝.
法二：「取出的小球是紅球或黑球或白球」與「取出的小球為綠球」互為對立事件，故所求概率為p2＝1－p(d)＝1－＝.
求複雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：
(1)直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算；
(2)間接求解法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式p(a)＝1－p()求解，即正難則反的數學思想，特別是「至多」「至少」型題目，用間接求解法就顯得較簡便．
3．(2012·長春模擬)黃種人群中各種血型的人所佔的比如下表所示：
已知同種血型的人可以輸血，o型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給ab型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是b型血，若小明因病需要輸血，問：
(1)任找乙個人，其血可以輸給小明的概率是多少？
(2)任找乙個人，其血不能輸給小明的概率是多少？
解：(1)對任一人，其血型為a，b，ab，o型血的事件分別記為a′，b′，c′，d′，它們是互斥的．由已知，有p(a′)＝0.28，p(b′)＝0.
29，p(c′)＝0.08，p(d′)＝0.35.
311隨機事件的概率312概率的意義
路橋中學 數學 堂堂練45 3.1.1隨機事件的概率 3.1.2 概率的意義 編寫人 陳良照審核人 陳海平使用時間 2011年12月3日 班級姓名學號 1.下列事件是必然事件的是 a.10人中至少有兩人的生日在同乙個月 b.11人中至少有兩人的生日在同乙個月 c.12人中至少有兩人的生日在同乙個月 ...
《隨機事件的概率》設計說明
新疆且末縣中學授課教師 鄭忠華指導教師 仇懷英 一 教材的地位和作用 本節課是人教版數學必修3中第三章第一節第一課，隨機事件的概率 主要研究事件的分類,概率的意義,概率的定義及統計演算法。現實生活中存在大量不確定事件,而概率正是研究不確定事件的一門學科。作為 概率統計 這個學習領域中的第一節課它在人...
《隨機事件的概率》教學設計與反思
一.教材分析在現實世界中，隨機現象是廣泛存在的，而隨機現象中存在著一定的規律性，從而使我們可以運用數學方法來定量地研究隨機現象 本節課正是引導學生從數量這一側面研究隨機現象的規律性。隨機事件的概率在實際生活中有著廣泛的應用，諸如自動控制 通訊技術 軍事 氣象 水文 地質 經濟等領域的應用非常普遍 通...