（1）排列組合公式
從m個人中挑出n個人進行排列的可能數。
從m個人中挑出n個人進行組合的可能數。
例1．1：方程的解是
a． 4 b． 3 c． 2 d． 1
例1．2：有5個隊伍參加了甲a聯賽，兩兩之間進行迴圈賽兩場，試問總共的場次是多少？
(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n
某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。
(3)乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n
某件事由兩個步驟來完成，第乙個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由m×n 種方法來完成。
例1．3：從5位男同學和4位女同學中選出4位參加乙個座談會，要求與會成員中既有男同學又有女同學，有幾種不同的選法？
例1．4：6張同排連號的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數為多少？
例1．5：用五種不同的顏色塗在右圖中四個區域裡，每一區域塗上一種顏色，且相鄰區域的顏色必須不同，則共有不同的塗法
a．120種 b．140種 c．160種d．180種
(4)一些常見排列
1 特殊排列
相鄰 彼此隔開
順序一定和不可分辨
例1．6：晚會上有5個不同的唱歌節目和3個不同的舞蹈節目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節目單？
①3個舞蹈節目排在一起；
②3個舞蹈節目彼此隔開；
③3個舞蹈節目先後順序一定。
例1．7：4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？
例1．8：5輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問有多少種排法？
2 重複排列和非重複排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？
3 對立事件
例1．10：七人並坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3個不能都取，有多少種取法？
例1．12：有4對人，組成乙個3人小組，不能從任意一對中取2個，問有多少種可能性？
4 順序問題
例1．13：3白球，2黑球，先後取2球，放回，2白的種數？（有序）
例1．14：3白球，2黑球，先後取2球，不放回，2白的種數？（有序）
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的種數？（無序）
（1）隨機試驗和隨機事件
如果乙個試驗在相同條件下可以重複進行，而每次試驗的可能結果不止乙個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。
例如：擲一枚硬幣，出現正面及出現反面；擲一顆骰子，出現「1」點、「5」點和出現偶數點都是隨機事件；**接線員在上午9時到10時接到的**呼喚次數（泊松分布）；對某一目標發射一發炮彈，彈著點到目標的距離為0.1公尺、0.
5公尺及1公尺到3公尺之間都是隨機事件（正態分佈）。
在乙個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質：
（1） 每進行一次試驗，必須發生且只能發生這一組中的乙個事件；
（2） 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。
這樣一組事件中的每乙個事件稱為基本事件，用來表示，例如（離散）。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。
乙個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母a，b，c，…表示事件，它們是的子集。
如果某個是事件a的組成部分，即這個在事件a**現，記為。如果在一次試驗中所出現的有，則稱在這次試驗中事件a發生。
如果不是事件a的組成部分，就記為。在一次試驗中，所出現的有，則稱此次試驗a沒有發生。
為必然事件，為不可能事件。
（2）事件的關係與運算
①關係：
如果事件a的組成部分也是事件b的組成部分，（a發生必有事件b發生）：
如果同時有，，則稱事件a與事件b等價，或稱a等於b：a=b。
a、b中至少有乙個發生的事件：ab，或者a+b。
屬於a而不屬於b的部分所構成的事件，稱為a與b的差，記為a-b，也可表示為a-ab或者，它表示a發生而b不發生的事件。
a、b同時發生：ab，或者ab。ab=，則表示a與b不可能同時發生，稱事件a與事件b互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-a稱為事件a的逆事件，或稱a的對立事件，記為。它表示a不發生的事件。互斥未必對立。
②運算：
結合率：a(bc)=(ab)c a∪(b∪c)=(a∪b)∪c
分配率：(ab)∪c=(a∪c)∩(b∪c) (a∪b)∩c=(ac)∪(bc)
德摩根率： ，
例1．16：一口袋中裝有五隻桌球，其中三隻是白色的，兩隻是紅色的。現從袋中取球兩次，每次乙隻，取出後不再放回。
寫出該試驗的樣本空間。若表示取到的兩隻球是白色的事件，表示取到的兩隻球是紅色的事件，試用、表示下列事件：
（1）兩隻球是顏色相同的事件，
（2）兩隻球是顏色不同的事件，
（3）兩隻球中至少有乙隻白球的事件。
例1．17：硬幣有正反兩面，連續拋三次，若ai表示第i次正面朝上，用ai表示下列事件：
（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件，
（2）至少有一次正面朝上的事件，
（3）前兩次正面朝上的事件。
（1）概率的公理化定義
設為樣本空間，為事件，對每乙個事件都有乙個實數p(a)，若滿足下列三個條件：
1° 0≤p(a)≤1，
2° p(ω) =1
3° 對於兩兩互不相容的事件，，…有
常稱為可列（完全）可加性。
則稱p(a)為事件的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1°，2°。
設任一事件，它是由組成的，則有
p(a)= =
例1．18：集合a中有100個數，b中有50個數，並且滿足a中元素與b中元素關係a+b=10的有20對。問任意分別從a和b中各抽取乙個，抽到滿足a+b=10的a,b的概率。
例1．19：5雙不同顏色的襪子，從中任取兩隻，是一對的概率為多少？
例1．20：在共有10個座位的小會議室內隨機地坐上6名與會者，則指定的4個座位被坐滿的概率是
abcd．
例1．21：3白球，2黑球，先後取2球，放回，2白的概率？（有序）
例1．22：3白球，2黑球，先後取2球，不放回，2白的概率？（有序）
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（無序）
注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。
（1）加法公式
p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)
當p(ab)＝0時，p(a+b)=p(a)+p(b)
例1．24：從0，1，…，9這十個數字中任意選出三個不同的數字，試求下列事件的概率：
a＝「三個數字中不含0或者不含5」。
（2）減法公式
p(a-b)=p(a)-p(ab)
當ba時，p(a-b)=p(a)-p(b)
當a=ω時，p()=1- p(b)
例1．25：若p(a)=0.5,p(b)=0.4,p(a-b)=0.3，求p(a+b)和p(+).
例1．26：對於任意兩個互不相容的事件a與b， 以下等式中只有乙個不正確，它是：
(a) p(a-b)=p(a) (b) p(a-b)=p(a) +p(∪)-1
(c) p(-b)= p()-p(b) (d)p[(a∪b)∩(a-b)]=p(a)
(e)p=p(a) -p(∪)
（3）條件概率和乘法公式
定義設a、b是兩個事件，且p(a)>0，則稱為事件a發生條件下，事件b發生的條件概率，記為。
條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合於條件概率。
例如p(ω/b)=1p(/a)=1-p(b/a)
乘法公式：
更一般地，對事件a1，a2，…an，若p(a1a2…an-1)>0，則有
…………。
例1．27：甲乙兩班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，而女生15名，問在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率。
例1．28：5把鑰匙，只有一把能開啟，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？
①第一次開啟；②第二次開啟；③第三次開啟。
（4）全概公式
設事件滿足
1°兩兩互不相容，，
2°，則有
。此公式即為全概率公式。
例1．29：播種小麥時所用的種子中二等種子佔2％，三等種子佔1.5％，四等種子佔1％，其他為一等種子。
用一等、二等、三等、四等種子播種長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.
1，0.05，試求種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率。
例1．30：甲盒內有紅球4只，黑球2只，白球2只；乙盒內有紅球5只，黑球3只；丙盒內有黑球2只，白球2只。從這三隻盒子的任意乙隻中任取出乙隻球，它是紅球的概率是：
a．0.5625 b．0.5 c．0.45 d．0.375 e． 0.225
例1．31：100個球，40個白球，60個紅球，不放回先後取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
（5）貝葉斯公式
設事件，，…，及滿足
1° ，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，
2° ，，
則，i=1，2，…n。
此公式即為貝葉斯公式。
，（，，…，），通常叫先驗概率。，（，，…，），通常稱為後驗概率。如果我們把當作觀察的「結果」，而，，…，理解為「原因」，則貝葉斯公式反映了「因果」的概率規律，並作出了「由果朔因」的推斷。
例1．32：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設表示被檢驗者的確患有肝癌的事件，表示診斷出被檢驗者患有肝癌的事件，已知，，。現有一人被檢驗法診斷為患有肝癌，求此人的確患有肝癌的概率。
（1）兩個事件的獨立性
設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的（這個性質不是想當然成立的）。
若事件、相互獨立，且，則有
所以這與我們所理解的獨立性是一致的。
若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。（證明）
由定義，我們可知必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨立。（證明）
同時，與任何事件都互斥。
（2）多個事件的獨立性
設abc是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，
p(ab)=p(a)p(b)；p(bc)=p(b)p(c)；p(ca)=p(c)p(a)
第一章隨機事件及其概率 四
解 所求的概率為 2 某類燈泡使用壽命在1000個小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以後最多隻壞乙個的概率。解 設a 燈泡使用壽命在1000個小時以上 則 所求的概率為 3 甲 乙 丙3人同時向一敵機射擊，設擊中敵機的概率分別為0.4，0.5，0.7。如果只有一人擊中飛機，則飛機被...
第一章隨機事件及其概率練習題
1 設p a 0.5，p b 0.6，p b a 0.8，則p 2 設p a 0.7，p a b 0.3，則p 3 若則 4 設每次試驗成功的概率為，重複進行試驗直到第次才取得次成功的概率為 ab cd 5 設a，b為兩個隨機事件，且p a 0，則p a b a a p ab b p a c p b...
第一章自測題概率論
一.選擇題 1.已知 0 p b 1，且p p a1 b p a2 b 記c s b 則下列選項成立的是 b a p p a1 c p a2 c b p a1b a2b p a1b p a2b c p a1 a2 p a1 b p a2 bd p b p a1 p b a1 p a2 p b a2 ...