平面的基本性質
公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線在此平面內
（教師引導學生閱讀教材p42前幾行相關內容，並加以解析）
符號表示為
a∈lb∈l => l α
a∈αb∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內
生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等……
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有乙個平面。
符號表示為：a、b、c三點不共線 => 有且只有乙個平面α，
使a∈α、b∈α、c∈α。
公理2作用：確定乙個平面的依據。
用正（長）方形模型
公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線。
符號表示為：p∈α∩β =>α∩β=l，且p∈l
公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據
空間中直線與直線之間的位置關係
1、長方體模型，得出空間的兩條直線有如下三種關係：
相交直線：同一平面內，有且只有乙個公共點；
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線： 不同在任何乙個平面內，沒有公共點。
再次強調異面直線不共面的特點，作圖時通常用乙個或兩個平面襯托，如下圖：
2、（1）：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規律？
思考：長方體abcd-a'b'c'd'中，
bb'∥aa'，dd'∥aa'，
bb'與dd'平行嗎？
公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
符號表示為：設a、b、c是三條直線
a∥bc∥b
強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。
觀察、思考：
∠adc與a'd'c'、∠adc與∠a'b'c'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關係如何？
生：∠adc = a'd'c'，∠adc + ∠a'b'c' = 1800
等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補。
異面直線所成的角的概念。
（1）如圖，已知異面直線a、b，經過空間中任一點o作直線a'∥a、b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。
（2）強調：
① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與o的選擇無關，為了簡便，點o一般取在兩直線中的一條上；
② 兩條異面直線所成的角θ∈(0， )；
③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；
④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
1、判斷題：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空題：
在正方體abcd-a'b'c'd'中，與bd'成異面直線的有條。
空間中直線與平面、面與平面之間的位置關係
1、直線與平面有三種位置關係：
（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點
（2）直線與平面相交 —— 有且只有乙個公共點
（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點
指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a α來表示
aa∩α=aa∥α
2、兩個平面之間有兩種位置關係：
（1）兩個平面平行 —— 沒有公共點
（2）兩個平面相交 —— 有且只有一條公共直線
用模擬的方法，這兩種位置關係用圖形表示為
l指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行。
直線與平面平行的判定
1、投影問題
思考後，得出以下結論
直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。
符號表示：
a α
b> a∥α
a∥b通過長方體模型，觀察、思考、交流，得出結論。
兩個平面平行的判定定理：乙個平面內的兩條交直線與另乙個平面平行，則這兩個平面平行。
符號表示：
a β
b β
a∩b = p β∥α
a∥αb∥α
指出：判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直於同一條直線的兩個平面平行。
直線與平面、平面與平面平行的性質
1）一條直線與平面平行，並不能保證這個平面內的所有直線都與這個直線平行；
（2）直線a與平面α平行，過直線a的某一平面，若與平面α相交，則直線a就平行於這條交線。
直線與平面平行的性質定理。
定理：一條直線與乙個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
符號表示：
a∥αaa∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
3、思考：如果兩個平面平行，那麼乙個平面內的直線與另乙個平面內的直線具有什麼樣的位置關係？
借助長方體模型思考、交流得出結論：異面或平行。
再問：平面ac內哪些直線與b'd'平行？怎麼找？
兩個平面平行的性質定理
定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
符號表示：
α∥βα∩γ= a a∥b
β∩γ= b
：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
直線與平面垂直的判定
如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。如圖2.3-1，直線與平面垂直時,它們唯一公共點p叫做垂足。
並對畫示表示進行說明。lp
α 圖2-3-1
2、思考：
（1）問題：雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？
ab d c
圖2.3-2
（3）歸納結論（兩條相交直線確定乙個平面），判定定理：
一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
特別強調：a)定理中的「兩條相交直線」這一條件不可忽視；
b)定理體現了「直線與平面垂直」與「直線與直線垂直」互相轉化的數學思想。
（平面與平面垂直的判定
（1）正確理解和掌握「二面角」、「二面角的平面角」及「直二面角」、「兩個平面互相垂直」的概念；
（2）掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單的應用；
（3）理會「模擬歸納」思想在數學問題解決上的作用。
重點：平面與平面垂直的判定；
難點：如何度量二面角的大小。
1、二面角的有關概念
二面角的概念及記法表示（如下表所示）
2、二面角的度量
二面角定理地反映了兩個平面相交的位置關係，如我們常說「把門開大一些」，是指二面角大一些，那我們應如何度量二兩角的大小呢？）在其稜上位取一點為頂點，在兩個半平面內各作一射線（如圖2.3-3），通過實驗操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
特別指出：
（1）在表示二面角的平面角時，要求「oa⊥l」 ，ob⊥l；
（2）∠aob的大小與點o在l上位置無關；
（3）當二面角的平面角是直角時，這兩個平
面的位置關係怎樣？
觀察，模擬、自主**b
獲得兩個平面互相垂直的判定定理：
乙個平面過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直c o a
圖2.3-3
直線與平面垂直的性質平面與平面垂直的性質
7：已知直線a⊥α 、b⊥α、那麼直線a、b一定平行嗎？（一定）我們能否證明這一事實的正確性呢？
圖2.3-4圖2.3-5
最後歸納得出：
垂直於同乙個平面的兩條直線平行。
並歸納性質定理：
兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於交線的直線與另乙個平面垂直。
一、空間基本元素：直線與平面之間位置關係的小結．如下圖：
本章知識回顧
（1）空間點、線、面間的位置關係；
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