第十一章一次函式複習課
知識點1 一次函式和正比例函式的概念
若兩個變數x，y間的關係式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函式（x為自變數），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函式.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函式，y=x，y=-x都是正比例函式.
【說明】 （1）一次函式的自變數的取值範圍是一切實數，但在實際問題中要根據函式的實際意義來確定.
（2）一次函式y=kx+b（k，b為常數，b≠0）中的「一次」和一元一次方程、一元一次不等式中的「一次」意義相同，即自變數x的次數為1，一次項係數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.
（3）當b=0，k≠0時，y= kx仍是一次函式.
（4）當b=0，k=0時，它不是一次函式.
知識點2 函式的圖象
把乙個函式的自變數x與所對應的y的值分別作為點的橫座標和縱座標在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函式的圖象．畫函式圖象一般分為三步：列表、描點、連線．
知識點 3一次函式的圖象
由於一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函式y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．
由於兩點確定一條直線，因此在今後作一次函式圖象時，只要描出適合關係式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.
畫正比例函式y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.
知識點4 一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的性質
（1）k的正負決定直線的傾斜方向；
①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；
②k﹤o時，y的值隨x值的增大而減小．
（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小（直線緩）；
（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；
①當b＞0時，直線與y軸交於正半軸上；
②當b＜0時，直線與y軸交於負半軸上；
③當b=0時，直線經過原點，是正比例函式．
（4）由於k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；
①如圖11－18（l）所示，當k＞0，b＞0時，直線經過第
一、二、三象限（直線不經過第四象限）；
②如圖11－18（2）所示，當k＞0，b﹥o時，直線經過第
一、三、四象限（直線不經過第二象限）；
③如圖11－18（3）所示，當k﹤o，b＞0時，直線經過第
一、二、四象限（直線不經過第三象限）；
④如圖11－18（4）所示，當k﹤o，b﹤o時，直線經過第
二、三、四象限（直線不經過第一象限）．
（5）由於|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函式y=x向上平移乙個單位得到的．
知識點3 正比例函式y=kx（k≠0）的性質
（1）正比例函式y=kx的圖象必經過原點；
（2）當k＞0時，圖象經過第
一、三象限,y隨x的增大而增大；
（3）當k＜0時，圖象經過第
二、四象限,y隨x的增大而減小．
知識點4 點p（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關係
（1）如果點p（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那麼x0,y0的值必滿足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是滿足函式解析式的一對對應值，那麼以x0，y0為座標的點p（1，2）必在函式的圖象上．
例如：點p（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點p（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點p′（2，1）不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點p′（2，1）不在直線y=x+l的圖象上．
知識點5 確定正比例函式及一次函式表示式的條件
（1）由於正比例函式y=kx（k≠0）中只有乙個待定係數k，故只需乙個條件（如一對x，y的值或乙個點）就可求得k的值．
（2）由於一次函式y=kx+b（k≠0）中有兩個待定係數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關於k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值．
知識點6 待定係數法
先設待求函式關係式（其中含有未知常數係數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知係數，從而得到所求結果的方法，叫做待定係數法．其中未知係數也叫待定係數．例如：函式y=kx+b中，k，b就是待定係數．
知識點7 用待定係數法確定一次函式表示式的一般步驟
（1）設函式表示式為y=kx+b；
（2）將已知點的座標代入函式表示式，解方程（組）；
（3）求出k與b的值，得到函式表示式．
例如：已知一次函式的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函式的關係式．
解：設一次函式的關係式為y＝kx+b（k≠0），
由題意可知，
解∴此函式的關係式為y=．
【說明】 本題是用待定係數法求一次函式的關係式，具體步驟如下：第一步，設（根據題中要求的函式「設」關係式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根據題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定係數k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到「設」的關係式y=kx+b中）；第四步，寫（寫出函式關係式）.
思想方法小結 （1）函式方法．
函式方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關係，抽象、昇華為函式的模型，進而解決有關問題的方法．函式的實質是研究兩個變數之間的對應關係，靈活運用函式方法可以解決許多數學問題．
（2）數形結合法．
數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函式有關的問題時，能起到事半功倍的作用．
知識規律小結 （1）常數k，b對直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．
①當b＞0時，直線與y軸的正半軸相交；
當b=0時，直線經過原點；
當b﹤0時，直線與y軸的負半軸相交．
②當k，b異號時，即-＞0時，直線與x軸正半軸相交；
當b=0時，即-=0時，直線經過原點；
當k，b同號時，即-﹤0時，直線與x軸負半軸相交．
③當k＞o，b＞o時，圖象經過第
一、二、三象限；
當k＞0，b=0時，圖象經過第
一、三象限；
當b＞o，b＜o時，圖象經過第
一、三、四象限；
當k﹤o，b＞0時，圖象經過第
一、二、四象限；
當k﹤o，b=0時，圖象經過第
二、四象限；
當b＜o，b＜o時，圖象經過第
二、三、四象限．
（2）直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關係．
直線y=kx+b(k≠0)平行於直線y=kx(k≠0)
當b＞0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；
當b﹤o時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b．
（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置關係．
①k1≠k2y1與y2相交；
②y1與y2相交於y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；
③y1與y2平行；
④y1與y2重合.
典例剖析
基本概念題
本節有關基本概念的題目主要是一次函式、正比例函式的概念及它們之間的關係，以及構成一次函式及正比例函式的條件．
例1 下列函式中，哪些是一次函式？哪些是正比例函式？
（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；
（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.
[分析] 本題主要考查對一次函式及正比例函式的概念的理解．
解：（1）（3）（5）（6）是一次函式，（l）（6）是正比例函式．
例2 當m為何值時，函式y=-（m-2）x+（m-4）是一次函式？
[分析] 某函式是一次函式，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．
解：∵函式y=（m-2）x+（m-4）是一次函式，
∴∴m=-2.
∴當m=-2時，函式y=（m-2）x+（m-4）是一次函式．
小結某函式是一次函式應滿足的條件是：一次項（或自變數）的指數為1，係數不為0．而某函式若是正比例函式，則還需新增乙個條件：常數項為0．
基礎知識應用題
本節基礎知識的應用主要包括：（1）會確定函式關係式及求函式值；（2）會畫一次函式（正比例函式）圖象及根據圖象收集相關的資訊；（3）利用一次函式的圖象和性質解決實際問題；（4）利用待定係數法求函式的表示式．
例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，並且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0．5cm，寫出掛上物體後，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x(kg）之間的函式關係式，寫出自變數x的取值範圍，並判斷y是否是x的一次函式．
[分析] （1）彈簧每掛1kg的物體後，伸長0．5cm，則掛xkg的物體後，彈簧的長度y為（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自變數x的取值範圍就是使函式關係式有意義的x的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函式．
解：（l）y=15+0．5x．
（2）自變數x的取值範圍是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函式．
學生做一做烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千公尺，火車從烏魯木齊出發，其平均速度為58千公尺／時，則火車離庫爾勒的距離s（千公尺）與行駛時間t（時）之間的函式關係式是
老師評一評研究本題可採用線段圖示法，如圖11－19所示．
火車從烏魯木齊出發，t小時所走路程為58t千公尺，此時，距離庫爾勒的距離為s千公尺，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．
例4 某物體從上午7時至下午4時的溫度m（℃）是時間t（時）的函式：m=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度為
［分析］ 本題給出了函式關係式，欲求函式值，但沒有直接給出t的具體值．從題中可以知道，t=0表示中午12時，t=1表示下午1時，則上午10時應表示成t=-2，當t=-2時，m=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．
答案：102
一次函式》經典例題解析 教師用
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一次函式知識點 經典例題 練習
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一次函式經典複習
學習目標 1 了解變數 函式的概念 2 理解正比例函式 一次函式的概念，並會根據條件確定一次函式解析式 3 會畫一次函式的圖象，並理解性質 4 能根據一次函式圖象解決方程 組 與不等式的解集問題 5 能用一次函式解決實際問題。學習重點 正比例函式和一次函式知識 學習難點 研究運動變化的數學問題 學習...