一次函式及其性質
● 知識點一一次函式的定義
一般地，形如（，是常數，）的函式，叫做一次函式，當時，即，這時即是前一節所學過的正比例函式．
⑴一次函式的解析式的形式是，要判斷乙個函式是否是一次函式，就是判斷是否能化成以上形式．
⑵當，時，仍是一次函式．
⑶當，時，它不是一次函式．
⑷正比例函式是一次函式的特例，一次函式包括正比例函式．
● 知識點二一次函式的圖象及其畫法
⑴一次函式（，，為常數）的圖象是一條直線．
⑵由於兩點確定一條直線，所以在平面直角座標系內畫一次函式的圖象時，只要先描出兩個點，再連成直線即可．
①如果這個函式是正比例函式，通常取，兩點；
②如果這個函式是一般的一次函式（），通常取，，即直線與兩座標軸的交點．
⑶由函式圖象的意義知，滿足函式關係式的點在其對應的圖象上，這個圖象就是一條直線，反之，直線上的點的座標滿足，也就是說，直線與是一一對應的，所以通常把一次函式的圖象叫做直線：，有時直接稱為直線．
● 知識點三一次函式的性質
⑴當時，一次函式的圖象從左到右上公升，隨的增大而增大；
⑵當時，一次函式的圖象從左到右下降，隨的增大而減小．
● 知識點四一次函式的圖象、性質與、的符號
⑴⑵一次函式中，當時，其圖象一定經過
一、三象限；當時，其圖象一定經過
二、四象限．
當時，圖象與軸交點在軸上方，所以其圖象一定經過
一、二象限；當時，圖象與軸交點在軸下方，所以其圖象一定經過
三、四象限．
反之，由一次函式的圖象的位置也可以確定其係數、的符號．
● 知識點五用待定係數法求一次函式的解析式
⑴定義：先設出函式解析式，再根據條件確定解析式中未知的係數，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待字係數法．
⑵用待定係數法求函式解析式的一般步驟：
①根據已知條件寫出含有待定係數的解析式；
②將的幾對值，或圖象上的幾個點的座標代入上述的解析式中，得到以待定係數為未知數的方程或方程組；
③解方程（組），得到待定係數的值；
④將求出的待定係數代回所求的函式解析式中，得到所求的函式解析式．
型別一：正比例函式與一次函式定義
1、當m為何值時，函式y=-（m-2）x+（m-4）是一次函式？
思路點撥：某函式是一次函式，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．
舉一反三：
【變式1】如果函式是正比例函式，那麼（ ）.
a．m=2或m=0 b．m=2 c．m=0 d．m=1
【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.
（1）寫出y與x之間的函式關係式；
（2）當x=4時，求y的值；
（3）當y=4時，求x的值．
型別二：待定係數法求函式解析式
2、求圖象經過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函式的表示式．
思路點撥：圖象與y=2x+1平行的函式的表示式的一次項係數為2，則可設此表示式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可．
舉一反三：
【 變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內是所掛重物的質量x（kg）的一次函式，現已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函式的表示式．
分析:題中並沒給出一次函式的表示式，因此應先設一次函式的表示式y=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2．求出k，b即可．
【變式2】已知直線y=2x+1．
（1）求已知直線與y軸交點m的座標；
（2）若直線y=kx+b與已知直線關於y軸對稱，求k，b的值．
【變式3】判斷三點a（3，1），b（0，-2），c（4，2）是否在同一條直線上．
分析：由於兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函式表示式，再把第三個點的座標代入表示式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．
型別三：函式圖象的應用
3、圖中的圖象（折線abcde）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函式關係，根據圖中提供的資訊，回答下列問題：
(1)汽車共行駛了km；
(2)汽車在行駛途中停留了h；
(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為km/h；
(4)汽車自出發後3h至4.5h之間行駛的方向是
舉一反三：
【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函式關係，求它們行進的速度關係。
【變式2】（2011四川內江）小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點a，再走下坡路到達點b，最後走平路到達學校，所用的時間與路程的關係如圖所示。放學後，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那麼他從學校到家需要的時間是( )
a.14分鐘 b.17分鐘 c.18分鐘 d.20分鐘
【變式3】某種洗衣機在洗滌衣服時,經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（公升）與時間x（分鐘）之間的關係如圖所示：
根據圖象解答下列問題：
（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少公升？
（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19公升.
①求排水時y與x之間的關係式；
②如果排水時間為 2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量.
分析：依題意解讀圖象可知：從0—4分鐘在進水，4—15分鐘在清洗，此時，洗衣機內有水40公升，15分鐘後開始放水.
型別四：一次函式的性質
4、己知一次函式y=kx十b的圖象交x軸於點a（一6，0），交y軸於點b，且△aob的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．
思路點撥：設函式的圖象與y軸交於點b（0，b），則ob=,由△aob 的面積，可求出b，又由點a在直線上，可求出k並由函式的性質確定k的取值．
舉一反三：
【變式1】已知關於x的一次函式．
（1）m為何值時，函式的圖象經過原點?
（2）m為何值時，函式的圖象經過點（0，－2）?
（3）m為何值時，函式的圖象和直線y=－x平行?
（4）m為何值時，y隨x的增大而減小？
【變式4】函式在直角座標系中的圖象可能是（ ）．
型別五：一次函式綜合
5、已知：如圖，平面直角座標系中，a（ 1，0），b（0，1），c（-1，0），過點c的直線繞c旋轉，交y軸於點d，交線段ab於點e。
（1）求∠oab的度數及直線ab的解析式；
（2）若△ocd與△bde的面積相等，①求直線ce的解析式；②若y軸上的一點p滿足∠ape=45°，請直接
寫出點p的座標。
思路點撥：（1）由a，b兩點的座標知，△aob為等腰直角三角形，所以∠oab=45°（2）△ocd與△bde的面積相等，等價於△ace與△aob面積相等，故可求e點座標，從而得到ce的解析式；因為e為ab中點，故p為（0,0）時，∠ape=45°.
舉一反三：
【變式1】在長方形abcd中，ab=3cm，bc=4cm，點p沿邊按a→b→c→d的方向向點d運動（但不與a，d兩點重合）。求△apd的面積y()與點p所行的路程x（cm）之間的函式關係式及自變數的取值範圍。
【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交於點e、f，點e的座標為（-8，0），點a的座標為（-6，0）。
（1）求的值；
（2）若點p（，）是第二象限內的直線上的乙個動點，在點p的運動過程中，試寫出△opa的面積
s與x的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；
（3）**：在（2）的條件下，當點p運動到什麼位置時，△opa的面積為，並說明理由。
一次函式練習
一、選擇題
1.若是正比例函式，則b的值是（ ）
a.0 bcd.
2.當時,函式的函式值為 ( )
a.-25 b.-7c. 8d.11
3.函式y=(k-1)x，y隨x增大而減小，則k的範圍是 ( )
a. b. c. d.
4.一次函式不經過的象限是（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
5.若把一次函式y=2x－3,向上平移3個單位長度，得到圖象解析式是( )
a、y=2x b、 y=2x－6 c、 y=5x－3 d、y=－x－3
6.一次函式的圖象與直線y= -x+1平行，且過點（8，2），此一次函式的解析式為：（ ）
a、y=2x-14 b、y=-x-6 c、y=-x+10 d、y=4x
7．如果直線y＝2x＋m與兩座標軸圍成的三角形面積等於m，則m的值是（ ）
a、±3 b、3 c、±4 d、4
8．點a（，）和b（，）在同一直線上，且．若，則，的關係是（ ）a、 b、 c、 d、無法確定．
9.若m＜0, n＞0, 則一次函式y=mx+n的圖象不經過
a.第一象限b. 第二象限 c.第三象限 d.第四象限
10、一次函式（是常數，）的圖象如圖所示，則不等式
的解集是（ ）
a． b． c． d．
11.已知函式,當-1＜x≤1時，y 的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
12．已知兩個一次函式y=x+3k和y=2x－6的圖象交點在y軸上，則k的值為（ ）
a、3 b、1 c、2 d、－2
13．已知一次函式y=kx－k，若y隨x的增大而減小，則該函式的圖象經過（ ）
a、第一、二、三象限 b、第
一、二、四象限
c、第二、三、四象限 d、第
一、三、四象限
14.當時，函式y=ax+b與在同一座標系中的圖象大致是（ ）
一次函式知識點
龍文教育教師一對一講義 學生姓名教師姓名日期 教學目標 知識教學點 1 能根據題目要求並結合實際意義確定自變數的取值範圍 2 會觀察函式圖象，從函式影象中獲取資訊，解決問題，會根據題目中題意或圖表寫出函式解析式 3 理解一次函式影象的性質，了解中的k，b對函式影象的影響，學會運用待定係數法和數形結合...
一次函式知識點
1 變數 在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量 在乙個變化過程中只能取同一數值的量。2 函式 一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱為是x的函式。判斷a是否為b的函式，只要看b取值確定的時候，a是否...
一次函式知識點總結與典型例題
函式 一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱為是x的函式。注 判斷y是否為x的函式，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應 例1 下列函式關係式中不是函式關係式的是 d a.b.c.d.例...