一次函式知識點總結

基本概念

1、變數：在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量：在乙個變化過程中只能取同一數值的量。

例題：在勻速運動公式中, 表示速度, 表示時間, 表示在時間內所走的路程,則變數是________,常量是_______。在圓的周長公式c=2πr中，變數是________，常量是

2、函式：一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱為因變數，y是x的函式。

*判斷y是否為x的函式，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應

例題：下列函式（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函式的有（）

（a）4個（b）3個（c）2個（d）1個

3、定義域：一般的，乙個函式的自變數允許取值的範圍，叫做這個函式的定義域。

4、確定函式定義域的方法：

（1）關係式為整式時，函式定義域為全體實數；（2）關係式含有分式時，分式的分母不等於零；

（3）關係式含有二次根式時，被開放方數大於等於零；（4）關係式中含有指數為零的式子時，底數不等於零；

（5）實際問題中，函式定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

例題：下列函式中，自變數x的取值範圍是x≥2的是（）

a．y= b．y= c．y= d．y=

函式中自變數x的取值範圍是

已知函式，當時，y的取值範圍是（）

a. b. c. d.

5、函式的影象

一般來說，對於乙個函式，如果把自變數與函式的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函式的圖象．

6、函式解析式：用含有表示自變數的字母的代數式表示因變數的式子叫做解析式

一次函式的性質

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k≠0)(k為任意不為零的實數b取任何實數)

2.當x=0時，b為函式在y軸上的截距。

3.k為一次函式y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函式圖象與x軸正方向夾角)

一次函式的影象及性質

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表[一般取兩個點,根據兩點確定一條直線];

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函式的影象——一條直線。因此，作一次函式的影象只需知道2點，並連成直線即可。(通常找函式影象與x軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函式上的任意一點p(x，y)，都滿足等式：

y=kx+b(k≠0)。(2)一次函式與y軸交點的座標總是(0，b)，與x軸總是交於(-b/k，0)正比例函式的影象總是過原點。

3.函式不是數，它是指某一變數過程中兩個變數之間的關係。

4.k，b與函式影象所在象限：

y=kx時

當k>0時，直線必通過

一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過

二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過

一、二象限;

當b=0時，直線必通過原點,經過

一、三象限

當b<0時，直線必通過

三、四象限。

y=kx+b時：

當k>0,b>0,這時此函式的圖象經過一，二，三象限。

當k>0,b<0,這時此函式的圖象經過一，三，四象限。

當k<0,b<0,這時此函式的圖象經過二，三，四象限。

當k<0,b>0,這時此函式的圖象經過一，二，四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點o(0，0)表示的是正比例函式的影象。

這時，當k>0時，直線只通過

一、三象限;當k<0時，直線只通過

二、四象限

4、特殊位置關係

當平面直角座標系中兩直線平行時，其函式解析式中k值(即一次項係數)相等

當平面直角座標系中兩直線垂直時，其函式解析式中k值互為負倒數(即兩個k值的乘積為-1)

確定一次函式的表示式

已知點a(x1，y1);b(x2，y2)，請確定過點a、b的一次函式的表示式。

(1)設一次函式的表示式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函式上的任意一點p(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最後得到一次函式的表示式。

一次函式的圖象和性質

一、知識要點： 1、一次函式：若兩個變數x,y存在關係為y=kx+b (k≠0, k,b為常數)的形式，則稱y是x的函式。

注意：（1）k≠0,否則自變數x的最高次項的係數不為1；（2）當b=0時，y=kx，y叫x的正比例函式。 2、圖象：

一次函式的圖象是一條直線（1）兩個常有的特殊點：與y軸交於（0，b）；與x軸交於（- ，0）。（2）正比例函式y=kx(k≠0)的圖象是經過（0，0）和（1，k）的一條直線；一次函式y=kx+b(k≠0)的圖象是經過（- ，0）和（0，b）的一條直線。

（3）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。 3、一次函式圖象的性質：

（1）圖象在平面直角座標系中的位置: （2）增減性： k>0時，y隨x增大而增大； k<0時，y隨x增大而減小。

4、求一次函式解析式的方法求函式解析式的方法主要有三種：一是由已知函式推導，如例題1；二是由實際問題列出兩個未知數的方程，再轉化為函式解析式，如例題4的第一問。三是用待定係數法求函式解析式，如例2的第二小題、例7。

其步驟是：①根據題給條件寫出含有待定係數的解析式；②將x、y的幾對值或圖象上幾個點的座標代入上述的解析式中，得到以待定係數為未知數的方程或方程組；③解方程，得到待定係數的具體數值；④將求出的待定係數代入要求的函式解析式中。

二、例題舉例：例1、已知變數y與y1的關係為y=2y1,變數y1與x的關係為y1=3x+2，求變數y與x的函式關係。分析：

已知兩組函式關係，其中共同的變數是y1,所以通過y1可以找到y與x的關係。解：∵ y=2y1 y1=3x+2, ∴ y=2(3x+2)=6x+4, 即變數y與x的關係為：

y=6x+4。例2、解答下列題目（1）（甘肅省中考題）已知直線與y軸交於點a，那麼點a的座標是（）。（a）（0，–3）（b）（c）（d）（0，3）（2）(杭州市中考題)已知正比例函式，當x=–3時，y=6．那麼該正比例函式應為（）。

（a）（b）（c）（d）（3）（福州市中考題）一次函式y=x+1的圖象，不經過的象限是（）。（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限（d）第四象限分析與答案： (1) 直線與y軸交點座標，特點是橫座標是0，縱座標可代入函式關係求得。

或者直接利用直線和y軸交點為（0，b），得到交點（0，3），答案為d。 (2) 求解析式的關鍵是確定係數k，本題已知x=-3時，y=6，代入到y=kx中，解析式可確定。答案d:

y=-2x。 (3) 由一次函式y=kx+b的圖象性質，有以下結論：，題目中y=x+1，k=1>0，則函式圖象必過

一、三象限；b=1>0，則直線和y軸交於正半軸，可以判定直線位置，也可以畫草圖，或取兩個點畫草圖判斷，影象不過第四象限。答案：d。

例3、（遼寧省中考題）某單位急需用車；但又不準備買車，他們準備和乙個體車主或一國營計程車公司其中的一家簽訂月租車合同。設汽車每月行駛x千公尺，應付給個體車主的月費用是y1元，應付給計程車公司的月費用是y2元，y1、y2分別與x之間的函式關係圖象（兩條射線）如圖，觀察圖象回答下列問題：（1）每月行駛的路程在什麼範圍內時，租國營公司的車合算？

（2）每月行駛的路程等於多少時，租兩家車的費用相同？（3）如果這個單位估計每月行駛的路程為2300千公尺，那麼這個單位租哪家的車合算？分析：

因給出了兩個函式的圖象可知乙個是一次函式，乙個是一次函式的特殊形式正比例函式，兩條直線交點的橫座標為1500，表明當x=1500時，兩條直線的函式值y相等，並且根據影象可以知道x>1500時，y2在y1上方；0

(1)每月行駛的路程小於1500千公尺時，租國營公司的車合算。 [或答:當0≤x＜1500(千公尺)時,租國營公司的車合算]。

(2)每月行駛的路程等於1500千公尺時,租兩家車的費用相同。 (3)如果每月行駛的路程為2300千公尺,那麼這個單位租個體車主的車合算。例4、（河北省中考題）某工廠有甲、乙兩條生產線先後投產。

在乙生產線投產以前，甲生產線已生產了200噸成品；從乙生產線投產開始，甲、乙兩條生產線每天分別生產20噸和30噸成品。（1）分別求出甲、乙兩條生產線投產後，各自總產量y（噸）與從乙開始投產以來所用時間x（天）之間的函式關係式，並求出第幾天結束時，甲、乙兩條生產線的總產量相同；（2）在如圖所示的直角座標系中，作出上述兩個函式在第一象限內的圖象；觀察圖象，分別指出第15天和第25天結束時，哪條生產線的總產量高？分析：

（1）根據給出的條件先列出y與x的函式式， =20x+200，＝30x，當 = 時，求出x。（2）在給出的直角座標系中畫出兩個函式的圖象，根據點的座標可以看出第15天和25天結束時，甲、乙兩條生產線的總產量的高低。解：

（1）由題意可得：甲生產線生產時對應的函式關係式是：y=20x+200，乙生產線生產時對應的函式關係式是：

y=30x，令20x+200=30x，解得x=20，即第20天結束時，兩條生產線的產量相同。（2）由（1）可知，甲生產線所對應的生產函式圖象一定經過兩點a（0，200）和 b（20，600）；乙生產線所對應的生產函式圖象一定經過兩點o（0，0）和b（20，600）。因此圖象如右圖所示，由圖象可知：

第15天結束時，甲生產線的總產量高；第25天結束時，乙生產線的總產量高。例5．直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點在y軸上，求此直線解析式。分析：

直線y=kx+b的位置由係數k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點，若兩直線平行，則解析式的一次項係數k相等。例如y=2x，y=2x+3的圖象平行。

解：∵ y=kx+b與y=5-4x平行， ∴ k=-4， ∵ y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交於y軸， ∴ b=18， ∴ y=-4x+18。說明：

一次函式y=kx+b圖象的位置由係數k、b來決定：由k來定方向，由b來定點，即函式圖象平行於直線y=kx，經過(0，b)點，反之亦成立，即由函式圖象方向定k，由與y軸交點定b。例6．直線與x軸交於點a（-4，0），與y軸交於點b，若點b到x軸的距離為2，求直線的解析式。

解：∵ 點b到x軸的距離為2， ∴ 點b的座標為（0，±2），設直線的解析式為y=kx±2, ∵ 直線過點a（-4，0）， ∴ 0=-4k±2, 解得：k=± , ∴直線ab的解析式為y= x+2或y=- x-2。

說明：此例看起來很簡單，但實際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函式解析式必備的。（1）圖象是直線的函式是一次函式；（2）直線與y軸交於b點，則點b（0，yb）；（3）點b到x軸距離為2，則|yb|=2；（4）點b的縱座標等於直線解析式的常數項，即b=yb；（5）已知直線與y軸交點的縱座標yb，可設y=kx+yb；下面只需待定k即可。

三、提高與思考例1．已知一次函式y1=(n-2)x+n的圖象與y軸交點的縱座標為-1，判斷y2=(3- )xn+2是什麼函式，寫出兩個函式的解析式，並指出兩個函式在直角座標系中的位置及增減性。解：依題意，得解得n=-1， ∴ y1=-3x-1, y2=(3- )x, y2是正比例函式； y1=-3x-1的圖象經過第

二、三、四象限，y1隨x的增大而減小； y2=(3- )x的圖象經過第

一、三象限，y2隨x的增大而增大。說明：由於一次函式的解析式含有待定係數n，故求解析式的關鍵是構造關於n的方程，此題利用「一次函式解析式的常數項就是圖象與y軸交點縱座標」來構造方程。

例2．已知一次函式的圖象，交x軸於a（-6，0），交正比例函式的圖象於點b，且點b在第三象限，它的橫座標為-2，△aob的面積為6平方單位，求正比例函式和一次函式的解析式。分析：自畫草圖如下：

解：設正比例函式y=kx，一次函式y=ax+b， ∵ 點b在第三象限，橫座標為-2，設b（-2，yb），其中yb<0， ∵ =6， ∴ ao·|yb|=6， ∴ yb=-2，把點b（-2，-2）代入正比例函式y=kx，得k=1，把點a（-6，0）、b（-2，-2）代入y=ax+b，得解得： ∴ y=x, y=- x-3即所求。

說明：（1）此例需要利用正比例函式、一次函式定義寫出含待定係數的結構式，注意兩個函式中的係數要用不同字母表示；（2）此例需要把條件（面積）轉化為點b的座標。這個轉化實質含有兩步：

一是利用面積公式 ao· bd=6（過點b作bd⊥ao於d）計算出線段長bd=2，再利用|yb|=bd及點b在第三象限計算出yb=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點b的位置有幾種可能，結果會有什麼變化？（答：

有兩種可能，點b可能在第二象限（-2，2），結果增加一組y=-x, y= (x+3)。

一次函式知識點總結

一次函式知識點總結

一次函式知識點總結

一次函式知識點總結

相關推薦