帶電粒子在復合場中的運動

實際應用中，迴旋加速是用兩個d形金屬盒做外殼，兩個d形金屬盒分別充當交流電源的兩極，同時金屬盒對帶電粒子可起到靜電遮蔽作用，金屬盒可以遮蔽外界電場，盒內電場很弱，這樣才能保證粒子在盒內只受磁場力作用而做勻速圓周運動。

（2）帶電粒子在d形金屬盒內運動的軌道半徑是不等距分布的

設粒子的質量為m，電荷量為q，兩d形金屬盒間的加速電壓為u，勻強磁場的磁感應強度為b，粒子第一次進入d形金屬盒ⅱ，被電場加速1次，以後每次進入d形金屬盒ⅱ都要被電場加速2次。粒子第n次進入d形金屬盒ⅱ時，已經被加速（2n-1）次。

由動能定理得（2n－1）qu=mvn2。 ……①

第n次進入d形金屬盒ⅱ後，由牛頓第二定律得qvnb= 　　…… ②

由①②兩式得ｒn=　　……③

同理可得第n+1次進入d形金屬盒ⅱ時的軌道半徑rn+1=　　……④

所以帶電粒子在d形金屬盒內任意兩個相鄰的圓形軌道半徑之比為，可見帶電粒子在d形金屬盒內運動時，軌道是不等距分布的，越靠近d形金屬盒的邊緣，相鄰兩軌道的間距越小。

（3）帶電粒子在迴旋加速器內運動，決定其最終能量的因素

由於d形金屬盒的大小一定，所以不管粒子的大小及帶電量如何，粒子最終從加速器內設出時應具有相同的旋轉半徑。由牛頓第二定律得=，可求=

可見，粒子獲得的能量與迴旋加速器的直徑有關，直徑越大，粒子獲得的能量就越大。

【例3】乙個迴旋加速器，當外加電場的頻率一定時，可以把質子的速率加速到v，質子所能獲得的能量為e，則：①這一迴旋加速器能把α粒子加速到多大的速度？

②這一迴旋加速器能把α粒子加速到多大的能量？

③這一迴旋加速器加速α粒子的磁感應強度跟加速質子的磁感應強度之比為？

（4）決定帶電粒子在迴旋加速器內運動時間長短的因素

帶電粒子在迴旋加速器內運動時間長短，與帶電粒子做勻速圓周運動的週期有關，同時還與帶電粒在磁場中轉動的圈數有關。設帶電粒子在磁場中轉動的圈數為n ，加速電壓為u。因每加速一次粒子獲得能量為qu，每圈有兩次加速。

結合=知，2nqu=，因此n=　。所以帶電粒子在迴旋加速器內運動時間t =nt=.=。

3．質譜儀

（１）電場和磁場都能對帶電粒子施加影響，電場既能使帶電粒子加速，又能使帶電粒子偏轉；磁場雖不能使帶電粒子速率變化，但能使帶電粒子發生偏轉．

（２）質譜儀：利用磁場對帶電粒子的偏轉，由帶電粒子的電荷量，軌道半徑確定其質量的儀器，叫做質譜儀．

（３）質譜儀的構造

①帶電粒子注入器

②加速電場（u）

③速度選擇器（e, b1）

④偏轉磁場（b2）

⑤照相底片

【例4】如圖所示：為質譜儀的原理圖，a為粒子加速器，電壓為；b為速度選擇器，磁場與電場正交，磁感應強度為，板間距離為d；c為偏轉分離器，磁感應強度為。今有一質量為m，電量為q的正離子經加速後，恰能通過速度選擇器，進入分離器後做半徑為r的勻速圓周運動，

求：（1）粒子的速度；

（2）速度選擇器的電壓；

（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r。

4．磁流體發電機、電磁流量計、霍爾效應

①進入磁場的粒子帶正、負電荷

②當eq=bqv時兩板間電勢差達到最大

u=bdv

磁流體發電機

①流動的導電液體含有正、負離子

②流量指單位時間內流過的體積：q=sv

③當液體內的自由電荷所受電場力與洛侖茲力相等時，a、b間的電勢差穩定。

電磁流量計

①導體中通過電流時，在運動的電荷為電子，帶負電；

②當電子所受電場力與洛侖茲力相等時，導體上、下側電勢差穩定。

霍爾效應

【例5】如圖所示，厚度為h、寬度為d 的導體板放在垂直於它的磁感應強度為b的勻強磁場中。當電流通過導體板時，在導體板的上側面a和下側面a′之間會產生電勢差，這種現象稱為霍爾效應。實驗表明，當磁場不太強時，電勢差u、電流 i 和 b 的關係為 u=kib/d式中的比例係數k稱為霍爾係數。

霍爾效應可解釋如下：外部磁場的洛侖茲力使運動的電子聚集在導體板的一側，在導體板的另一側會出現多餘的正電荷，從而形成橫向電場對電子施加與洛侖茲力方向相反的靜電力。當靜電子與洛侖茲力達到平衡時，導體上下兩側之間就會形成穩定的電勢差。

設電流i是由電子的定向流動形成的，電子的平均定向速度為v，電量為e。回答下列問題：

（1）達到穩定狀態時，導體板上側面a的電勢_____下側面的電勢（填高於、低於或等於）。

（2）電子所受洛侖茲力的大小為______。

（3）當導體板上下兩側之間的電勢差為u時，電子所受靜電力的大小為______。

（4）由靜電力和洛侖茲力平衡的條件，證明霍爾係數k= ，其中n代表導體板單位體積中電子的個數。

二、帶電體在復合場中的運動

1、帶電粒子在電場、磁場、重力場中的運動，簡稱帶電粒子在復合場中的運動，一般具有較複雜的運**景。這類問題本質上是乙個力學問題，應順應力學問題的研究思路和運用力學的基本規律。

分析帶電粒子在電場、磁場中運動，主要是兩條線索：

⑴力和運動的關係。根據帶電粒子所受的力，運用牛頓第二定律並結合運動學規律求解。

⑵功能關係。根據場力及其它外力對帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關係，從而可確定帶電粒子的運動情況，這條線索不但適用於均勻場，也適用於非均勻場。因此要熟悉各種力做功的特點。

帶電體在復合場中受力情況複雜運動情況多變，往往出現臨界問題，應以題中「最大」、「最高」、「至少」等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據臨界條件列出輔助方程，再與其它方程聯立求解。

三、綜合例析

【例6】乙個帶電微粒在圖示的正交勻強電場和勻強磁場中在豎直麵內做勻速圓周運動。則該帶電微粒必然帶_____，旋轉方向為_____。若已知圓半徑為r，電場強度為e磁感應強度為b，則線速度為_____。

【例7】質量為m帶電量為q的小球套在豎直放置的絕緣桿上，球與桿間的動摩擦因數為μ。勻強電場和勻強磁場的方向如圖所示，電場強度為e，磁感應強度為b。小球由靜止釋放後沿杆下滑。

設桿足夠長，電場和磁場也足夠大，求運動過程中小球的最大加速度和最大速度。

【例8】如圖所示，在的空間中存在勻強電場，場強沿軸負方向；在的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直平面（紙面）向外。一電量為，質量為的帶正電的運動粒子，經過軸上的處的點時的速率為，方向沿軸正方向；然後，經過軸上，處的點進入磁場，並經過軸上的處的點。不計重力。

求：（1）電場強度的大小。（2）粒子到達時速度的大小和方向。

（3）磁感應強度的大小。

【例9】空間中存在方向垂直於紙面向裡的勻強磁場，磁感應強度為，一帶電量為、質量為的粒子，在點以某一初速開始運動，初速度方向在圖中紙面內如圖中點箭頭所示。該粒子運動到圖中點時速度方向與點時速度方向垂直，如圖點箭頭所示。已知、間的距離為。

若保持粒子在點時的速度不變，而將勻強磁場換成勻強電場，電場方向與紙面平行且與粒子在點時速度方向垂直，在此電場作用下粒子也由點運動到點。不計重力。求：

（1）電場強度的大小（2）兩種情況下粒子由點運動到點所經歷的時間之差。

【例10】如圖所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行於軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區域中有平行於軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為b。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區域內有沿半徑向外的電場。一質量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內筒且正對狹縫a的s點出發，初速為零。

如果該粒子經過一段時間的運動之後恰好又回到出發點s，則兩電極之間的電壓u應是多少？（不計重力，整個裝置在真空中）

【例11】如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場。左側勻強電場的場強大小為e、方向水平向右，電場寬度為l；中間區域勻強磁場的磁感應強度大小為b，方向垂直紙面向裡。乙個質量為m、電量為q、不計重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的o點由靜止開始運動，穿過中間磁場區域進入右側磁場區域後，又回到o點，然後重複上述運動過程。

求：（1）中間磁場區域的寬度d；（2）帶電粒子從o點開始運動到第一次回到o點所用時間t.

四、針對訓練

1．帶電粒子垂直進入勻強電場或勻強磁場中時粒子將發生偏轉，稱這種電場為偏轉電場，這種磁場為偏轉磁場.下列說法錯誤的是（重力不計）

a.欲把速度不同的同種帶電粒子分開，既可採用偏轉電場，也可採用偏轉磁場

b.欲把動能相同的質子和α粒子分開，只能採用偏轉電場

c.欲把由靜止經同一電場加速的質子和α粒子分開，偏轉電場和偏轉磁場均可採用

d.欲把初速度相同而比荷不同的帶電粒子分開，偏轉電場和偏轉磁場均可採用

2．目前，世界上正在研究一種新型發電機叫磁流體發電機.如圖所示，表示了它的原理：將一束等離子體噴射入磁場，在場中有兩塊金屬板a、b，這時金屬板上就會聚集電荷，產生電壓.

如果射入的等離子體速度均為v，兩金屬板的板長為l，板間距離為d，板平面的面積為s，勻強磁場的磁感應強度為b，方向垂直於速度方向，負載電阻為r，電離氣體充滿兩板間的空間.當發電機穩定發電時，電流表示數為i.那麼板間電離氣體的電阻率為

ab.cd.

3．空間存在水平方向的勻強電場和勻強磁場，強度分別為e=10 n/c，b＝1 t，如圖所示.有一質量為m＝2.0×10-6 kg，帶正電q＝2.

0×10-6 c的微粒，在此空間做勻速直線運動，其速度的大小為________.方向為________.

4．如圖所示，水平虛線上方有場強為e1的勻強電場，方向豎直向下，虛線下方有場強為e2的勻強電場，方向水平向右；在虛線上、下方均有磁感應強度相同的勻強磁場，方向垂直紙面向外，ab是一長為l的絕緣細桿，豎直位於虛線上方，b端恰在虛線上，將一套在杆上的帶電小環從a端由靜止開始釋放，小環先加速而後勻速到達b端，環與杆之間的動摩擦因數μ＝0.3，小環的重力不計，當環脫離桿後在虛線下方沿原方向做勻速直線運動，求：

（1）e1與e2的比值；（2）若撤去虛線下方的電場，小環進入虛線下方後的運動軌跡為半圓，圓周半徑為，環從a到b的過程中克服摩擦力做功wf與電場做功we之比有多大?

5．串列加速器是用來產生高能離子的裝置。圖中虛線框內為其主體的原理示意圖，其中加速管的中部b處有很高的正電勢u，a、c兩端均有電極接地（電勢為零）.現將速度很低的負一價碳離子從a端輸入，當離子到達b處時，可被設在b處的特殊裝置將其電子剝離，成為n價正離子.

而不改變其速度大小。這些正n價碳離子從c端飛出後進入一與其速度方向垂直的、磁感應強度為b的勻強磁場中，在磁場中做半徑為r的圓周運動。已知碳離子的質量m=2.

0×10-26 kg，u=7.5×105 v，b=0.5 t，n=2，基元電荷e=1.

6×10-19 c，求r.

帶電粒子在復合場中的運動

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帶電粒子在復合場中的運動 二

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