習題一、基本概念
1．解：
設為總體的樣本
1）2）
3）所以
4）2.解：
由題意得：
因為，所以
3．解：
它近似服從均值為172，方差為5.64的正態分佈，即
4．解：
因k較大
5．解：
6．解：
7.解：
查卡方分位數表 c/4=18.31,c=73.24
8．解：
由已知條件得：
由互相獨立，知也互相獨立，所以
9.解:
1) 2)
3) 4)
10.解：
1) 2)
11.解：
12.解：
1) 2)
3)13.解：
14．解：
1）且與相互獨立
2）15.解：
設，即16．解：
17.證明：
1）2）
3）18. 解：
19.解
20.解：
21. 解：
1)因為，從而
，所以2）因為，
所以3)因為，
所以，故22.解：
由th1.4.1 (2)
查表:23.解：
由推論1.4.3(2)
24.解：
1)2)
25. 解：
1)2)
26.解：
1) 2) 3)
27．解：
28.解：
習題二、引數估計
1． 解：
矩估計所以，2．解：
1）無解，依定義：
2）矩法：
極大似然估計：
3． 1）解：
矩法估計：
最大似然估計：
2)解：
矩估計：
最大似然估計：
3）解：
矩估計：
聯立方程：
極大似然估計：依照定義，
4) 解：
矩估計：
，不存在
，無解；故，依照定義，
5)解：
矩法：即極大似然估計：
無解，依定義有：
7)解：
矩法：極大似然估計：
8)解：
矩法：極大似然估計：
4解：記則；
5.解：
6解：因為其壽命服從正態分佈，所以極大似然估計為：
根據樣本資料得到：。
由此看到，這個星期生產的燈泡能使用1300小時的概率為0
7.解：
由3.2)知
所以平均每公升氺中大腸桿菌個數為1時，出現上述情況的概率最大。
8 1）解：
2）解：
， 9解：
由極大似然估計原理得到
10解：
應該滿足：
結果取決於樣本觀測值
11.解：
無偏，方差最小
所以：12、1）解：
2）13．解：
14證明：
15．1）解：
是的無偏估計
2）解：
可以看出最小。
16．解：
比較有效
17.解：
18.解：
是有效估計量，
19.解：
注意：t是有效估計量，
20．1）解：
2）t是有效估計量，
是相合估計量。
21.解：
t是有效估計量
22.1）解：
2）所以
是有效估計量
3）所以，t也是相合估計量。
23.解：
24. 解：
所以（1）（2）
25.解：
所以26．解：
27.解：
28.解：
服從正態分佈，按照正態分佈均值的區間估計，其置信區間為 ；由題意，從總體x中抽取的四個樣本為：
其中，，代入公式，得到置信區間為
2），，得到置信區間為
29.解：
所以30.解：
所以31．解：
32．解：
所以33．解：
設，先驗分布密度，
當時，樣本的概率密度分布為
關於引數的後驗分部為
的後驗分部為，關於的bayes估計量
34．解：
設，先驗分布密度
當時，樣本的概率密度分布為
關於引數的後驗分部為
的後驗分部為，關於的bayes估計量
35．解：
設，先驗分布密度
當時，樣本的概率密度分布為：
關於引數的後驗分部為,這是因為
的後驗分部為
關於的bayes估計量
36．解：
（1）解出，（2）設
先驗分布密度當時，樣本的概率密度分布為
關於引數的後驗分部為
的後驗分部為，關於的bayes估計量
（3）比較估計量,有：
當時，所以，t2優於t1
習題三、假設檢驗
1.解：
拒絕，總體的均值有顯著性變化
拒絕，總體的方差有顯著性變化
2.解：
拒絕，元件不合格
3.解：
接受，機器工作正常
4．解：
拒絕，當前的雞蛋售價明顯高於往年
5.解：
拒絕，明顯變大
6.解：
接受，合格
接受，合格
7.解：
8.解：
9.解：
10.解：
11.解：
12解：
13. 解：
14解：
15解：
接受，認為甲比乙強度要高
16解：
接受，認為乙的精度高
17解:：
接受，認為無顯著差別
18.解：
19.解：
20.解：
21.解：
22.解：
23.解：
24.解：
25．解：
26.解：
27.解：
28.解：
29.解：
30．解
由題意知，
代入式子
選用式子
計算求得，於是抽查方案是：抽查66件產品，如果抽得的不合格產品，則接受這批產品，否則拒絕這批產品。
31.解：
（1）解方程組
得（2）若未知，用估計，從而得出公式
習題四回歸分析
1解：利用最小二乘法得到正規方程：
其中代入樣本資料得到：
用r分析可以直接得到
call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
residuals:
1 2 3 4 5 6
-2.28571 1.82857 0.94286 0.05714 1.17143 -1.71429
coefficients:
estimate std. error t value pr(>|t|)
(intercept) 24.628571 2.554415 9.642 0.000647 ***
x0.058857 0.004435 13.270 0.000186 ***
---signif. codes: 0 『***』 0.001 『**』 0.01 『*』 0.05 『.』 0.1 『 』 1
residual standard error: 1.855 on 4 degrees of freedom
multiple r-squared: 0.9778, adjusted r-squared: 0.9722
f-statistic: 176.1 on 1 and 4 df, p-value: 0.0001864
所以：樣本線性回歸方程為：
2證明：
1） 由於，所以
，。，， ，命題得證。
2）同理得證。
3解：利用最小二乘法得到正規方程：
其中代入樣本資料得到：
用r分析得：
call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
residuals:
min 1q median 3q max
-0.049553 -0.025164 0.002805 0.023843 0.051012
coefficients:
estimate std. error t value pr(>|t|)
(intercept) 0.314464 0.027074 11.615 2.45e-05 ***
x0.047172 0.009839 -4.795 0.00302 **
---signif. codes: 0 『***』 0.001 『**』 0.01 『*』 0.05 『.』 0.1 『 』 1
residual standard error: 0.03746 on 6 degrees of freedom
multiple r-squared: 0.793, adjusted r-squared: 0.7585
f-statistic: 22.99 on 1 and 6 df, p-value: 0.003017
所以：樣本線性回歸方程為：
拒絕域形式為：
，所以是顯著。
4解：1）利用最小二乘法得到正規方程：
其中用r分析得
call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
residuals:
min 1q median 3q max
-0.074323 -0.025719 -0.002468 0.025209 0.083125
coefficients:
estimate std. error t value pr(>|t|)
(intercept) 3.03318 0.03871 78.35 <2e-16 ***
x2.06979 0.05288 -39.14 <2e-16 ***
---signif. codes: 0 『***』 0.001 『**』 0.01 『*』 0.05 『.』 0.1 『 』 1
residual standard error: 0.04454 on 15 degrees of freedom
multiple r-squared: 0.9903, adjusted r-squared: 0.9897
f-statistic: 1532 on 1 and 15 df, p-value: < 2.2e-16
所以：樣本線性回歸方程為：，
2）第二題已證：的置信區間為，所以代入值計算得到：，的置信區間為，代入數值計算得到：。
（3）。
（4）5)解方程：
5證明：
若要，那麼。
6解：1）最小化殘差平方和：
2）證明：
3），同理，易得
7解：1）令，根據最小二乘法得到，正規方程：
，最後得到
所以：樣本線性回歸方程為：，
2）令，得到
所以：樣本線性回歸方程為：，
3）令，得到
所以：樣本線性回歸方程為：，
綜上，相關最大
8解：9解：由多元線性模型得：
代入數值得到：
用r分析得
call:
lm(formula = y ~ x1 + x2, data = weight)
residuals:
min 1q median 3q max
-2.7400 -1.1550 -0.1893 0.8862 3.9542
coefficients:
estimate std. error t value pr(>|t|)
(intercept) -15.93836 3.85644 -4.133 0.00166 **
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