2.2.1 對數與對數運算（三課時）
教學目標：1．理解並記憶對數的定義，對數與指數的互化，對數恒等式及對數的性質．
2．理解並掌握對數運算法則的內容及推導過程．
3．熟練運用對數的性質和對數運算法則解題．
4．對數的初步應用.
教學重點：對數定義、對數的性質和運算法則
教學難點：對數定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運算法則的推導
教學方法：學導式
教學過程設計
第一課時
師：（板書）已知國民生產總值每年平均增長率為7.2％，求20年後國民生產總值是原來的多少倍？
生：設原來國民生產總值為1，則20年後國民生產總值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年後國民生產總值是原來的1.07220倍．
師：這是個實際應用問題，我們把它轉化為數學中知道底數和指數，求冪值的問題．也就是上面學習的指數問題．
師：（板書）已知國民生產總值每年平均增長率為7.2％，問經過多年年後國民生產總值是原來的4倍？
師：（分析）仿照上例，設原來國民生產總值為1，需經x年後國民生產總值是原來的4倍．列方程得:1.072x=4．
我們把這個應用問題轉化為知道底數和冪值，求指數的問題，這是上述問題的逆問題，即本節的對數問題．
師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次冪等於n，就是，那麼數x就叫做以a為底n的對數(logarithm)，記作x=logan，其中a叫做對數的底數，n叫做真數，式子logan叫做對數式．
對數這個定義的認識及相關例子:
(1)對數式logan實際上就是指數式中的指數x的一種新的記法．
(2)對數是一種新的運算．是知道底和冪值求指數的運算．
實際上這個式子涉及到了三個量a，x，n，由方程的觀點可得「知二求一」．知道a，x可求n，即前面學過的指數運算；知道x（為自然數時）、n可求a，即初中學過的開根號運算，記作；知道a,n可以求x，即今天要學習的對數運算，記作logan= x．因此，對數是一種新的運算，一種知道底和冪值求指數的運算．而每學一種新的運算，首先要學習它的記法，對數運算的記法為logan，讀作：以a為底n的對數．請同學注意這種運算的寫法和讀法．
師：下面我來介紹兩個在對數發展過程中有著重要意義的對數．
師：（板書）對數logan（a＞0且a≠1）在底數a=10時，叫做常用對數(common logarithm)，簡記lgn；底數a=e時，叫做自然對數(natural logarithm)，記作lnn，其中e是個無理數，即e≈2.718 28……．
師：實際上指數與對數只是數量間的同一關係的兩種不同形式．為了更深入認識並記憶對數這個概念，請同學們填寫下列**．
練習1 把下列指數式寫成對數形式：
練習2 把下列對數形式寫成指數形式：
練習3 求下列各式的值：
（兩名學生板演練習1，2題（過程略），一生板演練習三．）
因為22=4，所以以2為底4的對數等於2．
因為53=125，所以以5為底125的對數等於3．
（注意糾正學生的錯誤讀法和寫法．）
例題（教材第73頁例題2）
師：由定義，我們還應注意到對數式logan=b中字母的取值範圍是什麼？
生：a＞0且a≠1；x∈r；n∈r．
師：n∈r？（這是學生最易出錯的地方，應一開始讓學生牢牢記住真數大於零．）
生：由於在實數範圍內，正數的任何次冪都是正數，因而ax=n中n總是正數．
師：要特別強調的是：零和負數沒有對數．
師：定義中為什麼規定a＞0，a≠1？
（根據本班情況決定是否設定此問．）
生：因為若a＜0，則n取某些值時，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，則當n不為0時，x不存在，如log02不存在；當n為0時，x可以為任何正數，是不唯一的，即log00有無數個值；若a=1，n不為1時，x不存在，如log13不存在，n為1時，x可以為任何數，是不唯一的，即log11有無數多個值．因此，我們規定：a＞0，a≠1．
（此回答能培養學生分類討論的數學思想．這個問題從ax=n出發回答較為簡單．）
練習4 計算下列對數：
lg10000，lg0.01，，，，．
師：請同學說出結果，並發現規律，大膽猜想．
生： =4．這是因為log24=2，而22=4．
生： =27．這是因為log327=3，而33=27．
生： =105．
生：我猜想，所以=1125．
師：非常好．這就是我們下面要學習的對數恒等式．
師：（板書）
（a＞0，a≠1，n＞0）．（用紅筆在字母取值範圍下畫上曲線）
（再次鼓勵學生，並提出更高要求，給出嚴格證明．）（學生討論，並口答．）
生：（板書）
證明：設指數等式ab=n，則相應的對數等式為logan=b，所以ab=
師：你是根據什麼證明對數恒等式的？
生：根據對數定義．
師：（分析小結）證明的關鍵是設指數等式ab=n．因為要證明這個對數恒等式，而現在我們有關對數的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對數定義是建立在指數基礎之上的，所以必須先設出指數等式，從而轉化成對數等式，再進行證明．
師：掌握了對數恒等式的推導之後，我們要特別注意此等式的適用條件．
生：a＞0，a≠1，n＞0．
師：接下來觀察式子結構特點並加以記憶．
（給學生一分鐘時間．）
師：（板書）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
師：第2題對嗎？錯在哪兒？
師：（繼續追問）在運用對數恒等式時應注意什麼？
（經歷上面的錯誤，使學生更牢固地記住對數恒等式．）
生：當冪的底數和對數的底數相同時，才可以用公式．
（師用紅筆在兩處a上重重地描寫．）
師：最後說說對數恒等式的作用是什麼？
生：化簡！
師：請開啟書74頁，做練習4．（生口答．略）
師：對對數的定義我們已經有了一定認識，現在，我們根據定義來進一步研究對數的性質．
師：負數和零有沒有對數？並說明理由．
生：負數和零沒有對數．因為定義中規定a＞0，所以不論x是什麼數，都有ax＞0，這就是說，不論x是什麼數，n=ax永遠是正數．因此，由等式x=logan可以看到，負數和零沒有對數．
師：非常好．由於對數定義是建立在指數定義的基礎之上，所以我們要充分利用指數的知識來研究對數．
師：（板書）性質1：負數和零沒有對數．
師：1的對數是多少？
生：因為a0=1（a＞0，a≠1），所以根據對數定義可得1的對數是零．
師：（板書）1的對數是零．
師；底數的對數等於多少？
生：因為a1=a，所以根據對數的定義可得底數的對數等於1．
師：（板書）底數的對數等於1．
師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質．
練習：課本第74頁練習1、2、3、4題。
作業：課本第86頁習題2.2a組題第1、2題。
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