由於圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經常會導致其答案的不唯一性。如：點與圓的位置關係，點可能在圓內，也可能在圓外；兩條弦的位置關係，可能在某一條直徑的同側，也可能在直徑的異側；圓與圓相切，可能外切，也可能內切，等等。
因此，求解圓的有關問題時，要注意分類討論思想。
一、點與圓的位置關係不唯一性
例1.若所在⊙o所在平面內一點p到⊙o上的點的最大距離為a，最小距離為b（a＞b），則此圓的半徑為（ ）。
（a） （b） （c）或 （d）a+b或a－b
分析：p可能在圓內，也可能在圓外。
圖1—1 圖1—2
⑴p在圓內時。如圖1—1。
連線o、p所在的直線交⊙o於a、b。
則pa=a，pb=b 直徑ab=pa+pb=a+b，半徑oa=ob=ab=（a+b）
⑵p在圓外時。如圖1—2。
此時直徑ab=pa－pb=a－b，半徑oa=ob=ab=（a－b）
由⑴⑵可知，應選（c）。
二、弦與弦的位置關係不唯一性
例2.⊙o的半徑為5cm，弦ab∥cd，ab=6cm，cd=8cm，則ab與cd之間的距離是（ ）。
（a）7cm （b）8cm （c）7cm或1cm （d1cm
分析：弦ab與cd可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側。
圖2—1 圖2—2
⑴弦ab與cd在圓心的同側。如圖2—1。
過o作弦ab的垂線，交ab於m，交cd於n。連線ob，od。
∵ab∥cd，om⊥ab，on⊥cd
由垂徑定理，bm=ab=3cm，dn=cd=4cm，又ob=od=5cm
在rt△bmo中，om==4cm，同理on=3cm
∴mn= om－on=4－3=1 cm
⑵弦ab與cd在圓心的異側。如圖2—2。
此時，mn=om+on=4+3=7cm 故選（c）。
例3．如圖，已知ab是⊙o的直徑，ac是⊙o的弦，ab=2，ac=，在圖中畫出弦ad，使ad等於1，並求出∠cad的度數。
分析：弦ac與弦ad可能在直徑ab的同側，可能在直徑ab的異側。
⑴弦ac與弦ad在直徑ab的同側。如圖3—1。
連oc、od。由oc=od=ab=1，ac=
∴oc+od=ac ∴∠aoc=90°，∠cao=∠aco=45°
又oa=od=ad，∴∠dao=60°
∴∠dac=∠dao－∠cao=15°
⑵弦ac與弦ad在直徑ab的異側。
此時，∠dac=∠dao+∠cao=115°
三、點在直徑上的位置不唯一性
例4．已知⊙o的直徑ab=10cm，弦cd⊥ab於點於點m。若om：oa=3：5，則弦ac的長為多少？
分析：垂足m可能在半徑oa上，也可能在半徑ob上。
⑴m在半徑oa上。如圖4—1。
連線oc。oc=oa=ab=5cm， 又om：oa=3：5，∴om=3cm
∵ab是直徑，弦cd⊥ab
∴在rt△omc中， mc==4cm
又am=oa－om=2cm
∴在rt△amc中，ac===2（cm）
⑵m在半徑ob上。如圖4—2.
此時，am=oa+om=8cm
ac===4（cm）
四、弦所對圓周角的不唯一性
例5．圓的一條弦長等於它的半徑，那麼這條弦所對的圓周角為（ ）。
30°或60°（b）60°（c）150°（d）30°或150°
（a）（b） 分析：弦（不是直徑）所對的弧有兩條，一條優弧，一條劣弧，
因此，一條弦所對的圓周角也有兩個，並且這兩個圓周角互補。
如圖5。劣弧所對的角為∠acb，優弧所對的角為∠adb。
由ab=0a=ob，∴∠aob=60°
∴∠acb=∠aob=30°
∠adb=（360°－∠aob）=（360°－60°）=150° 故選（d）
五、圓與圓的位置關係不唯一性
例6．如果兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓a的半徑為3cm，則圓b的半徑是（ ）。
5cm （b）11cm （c）3cm （d）11cm或5cm
（a）（b） 分析：圓與圓相切，可能是內切，也可能是外切。
⑴兩圓外切。如圖6—1。ab=8+3=11cm
⑵兩圓內切。如圖6—2。ab=8－3=5cm 故選（d）
六、相交圓圓心與公共弦的位置關係不唯一性
例7．已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長6cm，則這兩個圓的圓心距為 。
分析：兩圓圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側。
⑴圓心在公共弦的異側。如圖7—1。
連線oa，oa。由圓的對稱性，o o垂直平分公共弦ab。 ∴ad=ab=3
在rt△a od中，od==4
在rt△a od中，od==
∴o o= od+ od=4+
⑵圓心在公共弦的同側。如圖7—2。
此時，o o= od－ od=4－
故這兩個圓的圓心距為4+或4－。
在解一些幾何問題時，常會遇到一些用常規方法很難解決的問題。這時，如果構造適當的圖形來給以輔助，往往能促使問題轉化，使問題中原來隱晦不清的關係和性質在新構造的環境中清晰地展現出來，從而簡捷地解決問題，這種解題方法稱為構造法。
對於在已知條件的線上找點與已知點構成一定的角的問題，如果能根據題目的題設和結論，構造出符合題意特徵的輔助圓，即把題目中的固定角轉化為圓的圓周角問題，就能使問題得以順利解決，這種方法利用數形結合，使代數與幾何等知識相互滲透，綜合應用，它不但能較好的達到解題的目的，還有利於培養學生分析問題的能力。請看下面的兩個例題：
例1：（06東營）如圖，b是線段ac的中點，過點c的直線l與ac成60°的角，在直線l上取一點p，使得∠apb=30°，則滿足條件的點p的個數是
（a）3個 （b）2個 （c）1個 （d）不存在
分析：要在直線l上找點p使∠apb=30°，可以構造以ab為邊作等邊三角形abo，則∠aob=60°，然後以o為圓心，ab為半徑，作圓o，如圖，∵△abo為等邊三角形∴ob∥l，∴點o到l的距離d解：此題如果以ab為邊作等邊△abo,再以點o為圓心，ab為半徑作圓交直線l與點p1、p2，∵∠aob=60°∴∠ap1b=30°，∠ap2b=30°所以滿足條件的點p的個數是兩個，分別為p1、p2。
例2：（06陝西）如圖，矩形abcg（）與矩形cdef全等，點b、c、d在同一條直線上，的頂點p**段bd上移動，使為直角的點p的個數是 【 c 】
a．0 b．1 c．2 d．3
分析：要使∠ape=90°，則需要以ae為直徑作圓，如果此圓與線段bd相交，有幾個交點，則使∠ape為直角的點p的個數就有幾個，通過作圖及圓心到直線的距離可知，以ae為直徑的圓與bd只有兩個交點，所以使∠ape為直角的點p的個數是兩個。
解：此題連線ae、ac、ce，因為矩形abcg與矩形cdef全等，所以rt△acg≌rt△cef則∠ace=90°，所以點c為滿足條件的p點之一。取ae的中點o，然後以點o為圓心，以oa為半徑作圓o，因為點o到bc的距離小於oc，所以圓o與bd有兩個交點c、p，∵ae為直徑，∴∠ace=90°，∠ape=90°。
∴使∠ape為直角的點的個數是兩個。
綜上所述，我們可以把某些與定點成定角的問題轉化為圓周角問題，轉化為直線與圓的位置關係問題，則能輕易加以解決。
直角三角形內切圓的推廣
湖北省雲夢縣沙河中學許昌
我們知道利用面積法可以解決直角三角形內切圓半徑的問題，在此基礎上發現若有兩個等圓內切於直角三角形中，也可按面積法求解，具體過程如下。
已知：在rt⊿abc中，⊙o1 ,⊙o2兩等圓外切於h, ⊙o1 切ac、ab於d、e兩點，⊙o2 切bc、ab於f、g兩點，若ac=4,bc=3，求⊙o1與⊙o2的半徑。
解：連線o1 a, o1 d, o1 e, o1 c, o1 o2, o2 c, o2 f, o2 b, o2 g, o1 g,過c作ci⊥ab交ab於i,交o1 o2於j
設⊙o1與⊙o2的半徑為r
∵⊙o1 ,⊙o2兩等圓外切於h, ⊙o1 切ac、ab於d、e兩點，
⊙o2 切bc、ab於f、g兩點
∴o1 d⊥ac , o1 e⊥ab, o2 g⊥ab, o2 f⊥bc
s⊿ao1c=ac·o1d=2r s⊿bo2c=bc·o2f=1.5r
s⊿ao1g+ s⊿o2gb =ag·o1e+gb·o2g=r(ag+ gb)=2.5r
又∵ci⊥ab交ab於i,交o1 o2於j
∴cj+ o2g = cj+ji=ci ci==2.4
s⊿co1 o2+ s⊿o1 o2g = o1 o2·cj+ o1 o2·o2g= o1 o2·ci=2.4r
即s⊿abc= s⊿ao1c+ s⊿bo2c+ s⊿ao1g+ s⊿o2gb+ s⊿co1 o2+ s⊿o1 o2g==6
8.4r=6 , r=
現推廣到一般情況在rt⊿abc中∠c=90°，⊙o1 ,⊙o2…⊙on(n為正整數)兩兩等圓外切, ⊙o1 切ac、ab,⊙on 切bc、ab, 若ac=b,bc=a,求⊙o1 ，⊙o2 ,…⊙on的半徑。
解：用模擬思想我們可以知道,設⊙o1 ，⊙o2 ,…⊙on的半徑為r
s⊿abc = s1+ s2+ (s3+ s4)+ (s5+ s6)
= br+ar+r+×2(n-1)r
又∵s⊿abc =ab∴r=
分類討論在圓中的應用
在圓中的應用 一 例1 已知點p到 o的最近距離為3cm，最遠距離為13cm，求 o的半徑 例2 a b是 o上的兩點，且 aob 136 c是 o上不與a b重合的任意一點，則 acb的度數是 二 例3 已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬ab為80cm，求下水道中水的最大深度.同類...
分類討論思想在圓中的應用
龐各莊中學初三數學組陳曉健 一 課題 分類討論思想在圓 上 中的應用 二 課型 複習課 專題性質 三 時間 2008年12月 四 班級 初三 六 班 五 學生情況分析 通過對分類方法的多次滲透，學生對分類思想已有了一定的認識，但學生在確定分類的依據和究竟哪些知識點需要分類討論掌握不好，有待加強。六 ...
幾何圖形中的分類討論 強化練習
圓強化練習 1 如圖，ab是圓o的弦，ac是圓o的切線，則弦ab所對的圓周角 等於2 相交兩圓的半徑分別為8和5，公共弦為8，這兩個圓的圓心距等於 3 已知在直徑ab為13的半圓上有一點c，cd ab，垂足為d，且cd 6，則ad的長為 4 已知 和 相外切，1 2，半徑為3的 o與兩圓都相切，則滿...