例談如何解數學中的分類討論題

摘要數學教育家波利亞說過：「掌握數學意味著解題」。解題教學作為教師數學教學的重要組成部分和手段，是培養學生通過解題來掌握鞏固知識，提高能力的主要途徑，不僅如此，解題教學儼然是一門藝術。

低階的解題教學就題論題，解完即止，我們不禁追問：解題的思路方法夠簡潔嗎？方法的產生夠自然嗎？

更換本題的背景條件，目前的思路還適用嗎？能否放之四海而皆知？作為教師，我們在自身解題能力的保證下，在對學生現有解題能力的準確評判下，如何指導學生用常規、自然、普通的知識，簡短、明了地呈現解題過程。

關鍵詞數學公式分類討論題知識

在初中數學中，分類討論是貫穿於各種題型的一種重要的思想方法。由於學生對於分類的原因和標準模糊不清，有的在解題中往往以偏概全、漏解，有的甚至無從下手。以下就對某節課上處理分類討論問題的片段做一分析。

一、由數學概念引起的分類討論

當涉及某些特定的數學概念時，必須分多種情況解答。

例1.若

分析：學生根據正負3的絕對值都是3，不難得出x-2的值為3或-3兩種情況。

二、由數學公式引起的分類討論

有些公式有不同的形式或者有不同的適用範圍，學生在應用時往往會忽視其中一點造成解答不全。

例2．若x2+(m-1)x+4是乙個關於x的完全平方式，則m

分析：完全平方公式是初中數學中兩個重要的公式，事實上，學生對於一次項前是加號的完全平方式更為熟悉。原因在於在七年級學習負數中，將數的正負以及正負符號之間劃上了等號。

三、由字母取值的任意性引起的分類討論

式子中字母取值的不同決定了不同的性質或者圖形位置，尤其體現在函式解析式中含有的字母對於函式影象以及性質的決定作用。

例3.在同一座標系中，正比例函式y=-3x與反比例函式y=■的圖象的交點的個數是_______

分析：只需要學生對k決定反比例函式所在象限這一基本知識點掌握，通過畫出兩個函式的草圖，本題就可迎刃而解。

四、幾何中圖形位置的不確定引起的分類討論

某些幾何圖形，在題設條件下有幾種圖形，這時候需要對每一種圖形都進行討論解答。

例4.若半徑為3，5的兩個圓相切，則它們的圓心距為（）

a．2 b．8 c．2或8 d．1或4

分析：對於兩圓相切這一概念的理解：兩圓相切指兩圓外切或者內切，那麼問題的解決就要通過圖形的兩種位置關係來討論。

例5.在平面直角座標系中，已知點p（－2，－1）.

(1)點t（t，0）是x軸上的乙個動點。當t取何值時，△top是等腰三角形？

(2) 過p作y軸的垂線pa，垂足為a.點t為座標系中的一點。以點為頂點的四邊形為平行四邊形，請寫出點t的座標?

(3) 過p作y軸的垂線pa，垂足為a.點t為座標軸上的一點。以為頂點的三角形與△aop相似，請寫出點t的座標?

分析1：對於問題1的解決通過三部曲完成，（1）審題：要求的點t的位置？

最終形成的圖形形狀？影象中有哪些量是確定的？（2）學生嘗試畫圖求解，學生比較容易得出的是分別以o，p為頂點時的等腰三角形，易遺漏以所求點t為頂點時的情形；（3）嘗試成果交流，反思總結。

在交流中把分類的三種情況完整，並回顧思考：固定線段0p是乙個不確定因素，可以作為底或者腰，而點o和點p又可以分別作為頂點，所以本題可以按怎樣的標準來對等腰三角形進行分類討論的？形成總結：

在乙個等腰三角形中，頂點確定，那麼圖形中邊和角這些元素都被確定下來，所以當等腰三角形的腰底不明確的時候，我們可以按照哪個點作為頂點這個標準來進行分類討論。

分析2：問題2中四邊形的討論還是學生先借鑑第一題的經驗嘗試，一部分同學一開始並沒有乙個確定的討論標準，在不斷地嘗試畫圖中找到多解，依然容易漏解；一部分同學先考慮乙個確定的分類的標準再嘗試畫出圖形求解。

分析3：在學生自主探索的基礎上對有疑問和漏解的同學用問題串引導：（1）先了解已知：

△aop的形狀？要求的點t的位置？（2）由相似關係知道，△top也應該是直角三角形，哪個頂點可以作為△aop中直角頂點a的對應點？

（3）分別以點o，p，t作為點a的對應點分三種情況來討論。

學生畫出圖形，發現情況一：當點o作為直角頂點時，點t不在座標軸上，不符合題意；情況二：當點p作為直角頂點時，op的垂線與座標軸有兩個交點，找到兩個符合條件的點t1，t2，求出t點座標的方法多樣，但是在求解的過程中注意對應點的相似關係，分△aop∽△pot，△aop∽△pto兩種情況；情況三:

以線段op的中點為圓心，op的1/2長為半徑作圓，交於座標原點和x軸負半軸上一點，從而找到以點t作為直角頂點時的符合題意的點t3。在這個對兩個相似三角形問題的討論中，我們抓住了直角三角形的特殊性，按直角頂點這個標準來進行了分類討論，不重複也不遺漏。

數學解題，數學解題教學理應是乙個水到渠成的過程，我們不難發現，在處理這類問題時，1.分析已知條件隱含著的不確定的因素；2. 明確分類討論的標準；3.

按可能出現的情況不重複也不遺漏地討論求解。事實上雖然引起分類討論的原因是多種多樣的，但這些原因其實都是最基本樸實的東西，所以只有對基礎知識真正理解透徹，才能體會到分類的依據和方法，從而自然、順利地解決該類問題。