§1.8 基本數列和收斂原理
定義1.9 設是乙個數列.若,使得當時,都成立
,則稱是cauchy數列或基本數列.顯然,收斂數列是基本數列.
引理1.1 任意數列必有乙個單調子列.
證: 若嚴格大於中的每一項,則稱數列的乙個「龍頭」.
(1) 假定有無窮多個「龍頭」, , ,則子列嚴格遞減.
(2) 假定只有有限個「龍頭」,則,使得當時,每個都不是「龍頭」.令；因為不是「龍頭」，故存在正整數使得；又因為不是「龍頭」，故存在正整數使得；…，於是,子列遞減.□
定理1.11 (bolzano-weierstrass列緊性定理)任意有界數列必有乙個收斂子列.
註記1. 定理1.10是實數完備性或連續性的一種表現形式.
定理1.12 (cauchy收斂原理)數列收斂的充要條件是它為基本數列.
證: 只需證充分性.設是基本數列,故,使得都成立,這說明是有界數列.由列緊性定理,有乙個子列收斂於.
,使得當時,都成立,於是當時成立,從而
.令便得到,這說明收斂於.□
數域的完備性或連續性稱滿足cauchy收斂原理的數域是完備的(或連續的).於是,實數域是完備的,而有理數域是不完備的.
例設是數列.若,和,使得當時成立,問是否收斂？說明理由.
解:,和,使得當時成立,從而當時,都成立.於是,當時,都成立.由cauchy收斂原理便知收斂.但要注意,未必以為極限.
練習題1.8（） 1,2(1,2),3(2,4),5,6.
§1.9 上確界和下確界
廣義實數集的上、下界設.若,使得都成立,則稱有上界,並是的乙個上界；若存在使得都成立,則稱有下界,並稱是的乙個下界；稱既有上界又有下界的數集為有界集.顯然,數集有界,使得都成立.
顯然空集是有界集.
定義1.10(最大數的推廣) 設非空.當有上界時,若滿足
(1)是的上界；
(2)使得,
則稱是的上確界(或最小上界),記為.當無上界時,稱是的上確界,記為.
定義1.11(最小數的推廣) 設非空.當有下界時,若滿足
(1)是的下界；
(2)使得,
則稱是的下確界(或最大下界),記為.當無下界時,稱是的下確界,記為.
命題1 若非空廣義實數集中有最大數(或最小數),則 (或)；若,則.
例1 求下列數集的上、下確界
(1)不是的最小數；
(2)不是的最大數，不是的最小數；
(3)不是的最大數，不是的最小數.
定理1.13(確界原理) 非空實數集必有上確界和下確界.
證: (用閉區間套定理證)只需證有上界的非空實數集存在上確界即可.任取的乙個上界,故滿足；當時,令,否則令,故，是的上界；當時,令,否則令,故,是的上界；… .
閉區間滿足和.由閉區間套定理,是獨點集.下面證就是的上確界.
(1),總成立,故,這說明是的上界.
(2)使得.由於,故使得.這說明就是的上確界.□
註記1. 定理1.13是實數完備性或連續性的一種表現形式.
命題2 設非空.若沒有最大數(或最小數),則必存在嚴格遞增(或遞減)的數列趨向於(或).
證: 設無上界.使得；使得；使得；… .於是,數列嚴格遞增趨向於.
設有上界,記.使得；使得；使得
；…,使得. 於是,數列嚴格遞增收斂於.□
例2(的連通性)若滿足, ,則或者有中的數列收斂於中的點,或者有中的數列收斂於中的點(這也是實數完備性或連續性的一種表現形式).
證: (用確界原理證)取,不妨設,並記,顯然.
(1).因為不是的最大值,故存在嚴格遞增的數列收斂於(命題2),定理得證；
(2).這時, , ,從而,故存在嚴格遞增的數列收斂於.□
練習題1.9() 1,2,3,4.
§1.10 有限覆蓋定理
定義1.12 設是指標集(即非空集合),是開區間族.若實數集,則稱開區間族覆蓋了.
定理1.14(heine-borel有限覆蓋定理) 若開區間族覆蓋了有限閉區間,則必可從中選出有限個開區間,這有限個開區間所組成的族仍然覆蓋了.
證:(用閉區間套定理反證)假定不能被中的有限個開區間所覆蓋,則和中必有乙個不能被中的有限個開區間所覆蓋,以記之；和中必有乙個不能被中的有限個開區間所覆蓋,以記之；… . 於是,閉區間滿足和.
由閉區間套定理,是獨點集.取中的開區間使得.因為,故當充分大時,得到矛盾.
□註記1.1 定理1.14是實數完備性或連續性的一種表現形式.
實數完備性或連續性的7個等價命題
練習題1.10 () 1,2.
數學分析報告
專業 班級 xx 學號 x 姓名 一 實驗目的 1.掌握離散信源熵的原理和計算方法。2.熟悉matlab軟體的基本操作，練習應用matlab軟體進行信源熵函式曲線的繪製。3.理解信源熵的物理意義，並能從信源熵函式曲線圖上進行解釋其物理意義。二 實驗原理 1.離散信源相關的基本概念 原理和計算公式 產...
數學分析試題
數學系一年級 數學分析 期末考試題 2002.6.22.班級學號姓名 一 滿分 2 0 分，每小題 4 分 單項選擇題 1.如果數列發散但有界，則 a.的每個子列都發散 b.子列和中至少有乙個發散 c.數列必不單調d.有且僅有乙個聚點 2.如果函式在區間上不是 r 可積 則a.在區間上有無窮多個間斷...
數學分析試題
一 敘述題 每小題5分，共15分 1 darboux和 2 無窮限反常積分的cauchy收斂原理 3 euclid空間 二 計算題 每小題7分，共35分 1 2 求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3 n是非負整數 4 設具有二階連續偏導數，求 5 求的冪級數展開式 三 討論與驗證題 每小題10分...