1. 用列舉法表示下列集合:
(1) 大於10小於30的合數的集合。
(2) 使一元二次方程ax2＋4x＋1=0有實數解的非負整數a的集合。
(3) 。
(2) 使一元二次方程ax2＋4x＋1=0有實數解的非負整數a的集合可表示為：
。 （因為判別式＝b2-4ac=42-4a≥0，即4≥a）
(3) （因為z5＝）
(4) （注意自然數包含0）
(5) 。
因為n2-10-24=(n-5)2-49<0，且5≤n≤15，故－72. 用描述法表示下列集合:
(1)(2) 可表示為：}
(2) , a}
(3) }
(4) , a}
(5) {}
(6) }
解：(1) }是正確的。
(2) , a}是正確的。
(3) }是錯誤的。
(4) , a}是正確的。
(5) {}是正確的。
(6) }是正確的。
4. 設整數集i的子集如下:
a＝｛2, 4, 6, 8｝
b＝｛x|x2 ≤60∧x≥-3｝
c＝｛x|x整除30∧x整除12｝
d＝｛x|x＝2y∧x≤20∧y∈n5｝
用列舉法寫出下列集合:
(1) a∪(b∪(c∪d))
(2) a∩(b∩(c∩d))
(3) c－
(4) (∩b)∪d
(5) (a－b)∪(c－d)
(6) (a⊕b)∩(c⊕d)
解：因為
a＝｛2, 4, 6, 8｝
b＝｛x|x2 ≤60∧x≥-3｝＝｛x|－7≤x ≤7∧x≥-3｝＝｛x|－3≤x ≤7｝
＝｛－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7｝
c＝｛x|x整除30∧x整除12｝＝｛-6，-3，-2，-1， 1，2，3，6｝
d＝｛x|x＝2y∧x≤20∧y∈n5｝＝｛2，4，8，16｝，所以
(1) a∪(b∪(c∪d)) 可表示為：
，c－d＝｛-6，-3，-2，-1，1，3，6｝
(6) (a⊕b)∩(c⊕d) 可表示為：｛-3，-2，-1，1，3，8｝
因為a⊕b＝｛－3，－2，－1，0，1，3，5，7，8｝，
c⊕d＝｛-6，-3，-2，-1，1，3，4，6，8，16｝
5. 設正整數集n＋的子集如下: （在教材中自然數集不含0，所以應該理解為正整數集n＋）
a＝｛x|x＜12｝
b＝｛x|x≤8｝
c＝｛x|x＝2k∧k∈n＋｝
d＝｛x|x＝3k∧k∈n＋｝
e＝｛x|x＝2k－1∧k∈n＋｝
用a, b, c, d, e表示下列集合:
(1) ｛2, 4, 6, 8, 10｝
(2) ｛9, 10, 11｝
(3) ｛10｝
(4) ｛x|x是偶數∧x＞10｝
(5) ｛x|(x是偶數∧x＜10)∨(x是奇數∧x＞9)｝
解：因為
a＝｛x|x＜12｝＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11｝
b＝｛x|x≤8｝＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝
c＝｛x|x＝2k∧k∈n＋｝＝｛2，4，6，……｝
d＝｛x|x＝3k∧k∈n＋｝＝｛3，6，9，……｝
e＝｛x|x＝2k－1∧k∈n＋｝＝｛1，3，5，7，……｝
所以(1) ｛2, 4, 6, 8, 10｝可表示為：a-e。（或 a∩c）
(2) ｛9, 10, 11｝可表示為：a-b。
(3) ｛10｝可表示為：(a-b)∩(a-e)。（或 a∩c-b）（或 (a-b)∩c）
(4) ｛x|x是偶數∧x＞10｝可表示為：c-a。
(5) ｛x|(x是偶數∧x＜10)∨(x是奇數∧x＞9)｝可表示為：
b∩c∪(e-b-(a-b)∩d)。
因為｛x|x是偶數∧x＜10｝＝b∩c，
由(2)知，(a-b)∩d＝｛9｝，所以｛x|x是奇數∧x＞9｝＝e-b-(a-b)∩d
6. 已知a＝｛1, 2｝, b＝｛1, 2, a｝, 寫出下列各式:
(1) b－a
(2) 2a－{}
(3) 2a－2{}
(4) 2b－2a
(5(6
(7) 2}－2{}
解：因為a＝｛1, 2｝, b＝｛1, 2, a｝, 所以
(1) b－a ＝｛a｝。
(2) 2a－{}＝，，}－{}＝，，}。
(3) 2a－2{}＝，，，，}。
(4) 2b－2a＝，，，，，｛a｝，}－，，}＝，，｛a｝，}。
(5(6
(7) 2}-2
7. 寫出下列集合的所有子集:
(1) {}
(2) , {}}
(3) , }
(4解：原集合的所有子集分別為以下冪集的元素：
(1) 2{}＝}
(2) 2, {}}}
(3) 2, }＝}, }，, }}
(4) 2
8. 對於任意集合a、b和c，下列論斷是否正確？並說明理由。
(1) 由xa，ab，得x b。
(2) 由a-c=b-c，得a=b。
(3) 由於集合和都是空集，所以空集不唯一。
(4) 由xa，a2a，得x2a。
(5) 2a－b＝2a -2b。
(6) 若s a，2s2a。
(7) 由a∩b＝，得2a∩2b＝。
解：(1) 正確。因為abx(xa→x b)，現在xa且ab，故x b。
(2) 錯誤。如設a≠，c≠，a c，b=，此時有a-c=b-c=，但a≠b。
(3) 錯誤。雖然集合和都是空集，兩個集合雖然形式不同，但它們均不含任何元素，所以它們相等。因此得不到空集不唯一的結論。
(4) 錯誤。因為2a是由a 所有子集構成的集合，xa僅表示x是a的元素，但x不一定是a的子集，所有不一定有x2a。
(5) 錯誤。以a=b為例，此時a-b=，2a -2b=，但2a－b={}，即
2a－b 2a -2b。
(6) 正確。對於任意的t2s，有ts，由於s a，所以t a，即t2a，故有2s2a。
(7) 錯誤。不論a∩b是否為，都有{}2a∩2b。
9. 設a=, 由b6, b21所表示的a的子集是什麼？子集和應如何表示？
解：b6＝b00110＝，b21＝b10101 =。
＝b01010＝b10，＝b11001 = b25。
10. 對下列各式構造文氏圖:
(1) ∩
(2) a∩(b∪c)
(3) a－()
(4) (a⊕b)∪c
解：(1) ∩＝
(2) a∩(b∪c)
(3) a－()＝a∩(b∪c)，其文氏圖同(2)。
(4) (a⊕b)∪c
文氏圖(略)。
11. 用定義證明定理3.2-2。
證明：定理 3.2-2 對任意3個集合a, b, c, 其並、交、補運算滿足下面5個定律：
(1) 交換律：a∪b=b∪a；a∩b=b∩a
(2) 結合律：a∪(b∪c)=(a∪b)∪c
a∩(b∩c)=(a∩b)∩c
(3) 分配律：a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)
a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)
(4) 同一律：a∪=a ；a∩u＝a
(5) 互補律：a∪=u；a∩=
(1) 交換律的證明：
因為 x∈a∪b
x∈a∨x∈b
x∈b∨x∈a
x∈b∪a
所以 a∪b＝b∪a
因為 x∈a∩b
x∈a∧x∈b
x∈b∧x∈a
x∈b∩a
所以 a∩b＝b∩a
(2) 結合律的證明：
因為 x∈a∪(b∪c)
x∈a∨x∈(b∪c)
x∈a∨(x∈b∨x∈c)
(x∈a∨x∈b)∨x∈c
x∈( a∪b)∨x∈c
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