集合元素的「三性」及其應用
集合的特徵是學好集合的基礎，是解集合題的關鍵，它主要指集合元素的確定性、互異性和無序性，這些性質為我們提供了解題的依據，特別是元素的互異性，稍有不慎，就易出錯．下面就集合元素的這三個性質及應用加以說明．
一、注意正確理解其意義
1．確定性：即對任意給定的物件，相對於某個集合來說，要麼屬於這個集合，要麼
不屬於這個集合，二者必居其一，關鍵是理解「確定」的含義．
2．互異性：對於乙個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），即同乙個集合中的任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入任乙個集合時，只能作為這個集合的乙個元素．
3．無序性：由於集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素與順序無關．
二、注意正確利用「三性」解題
例1 下列命題正確的有哪幾個？
⑴很小的實數可以構成集合；⑵集合｛1，5｝與集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝與集合｛（5，1）｝是同乙個集合；⑷由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合有5個元素．
分析：這類題目主要考查對集合概念的理解，解決這類問題的關鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無序性為標準作出判斷．
解：⑴「很小」是乙個模糊概念，沒有明確的標準，故我們很難確定某乙個物件是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此，「很小的實數」不能構成集合，故⑴錯．
⑵｛1，5｝是由兩個數1，5組成的集合，根據集合元素的無序性，它與｛5，1｝是同乙個集合，故⑵錯．
⑶｛（1，5）｝是由乙個點（1，5）組成的單元素集合，由於（1，5）與（5，1）表示兩個不同的點，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的兩個集合，故⑶錯．
⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合為｛1，，0.5｝，共有3個元素．因此，⑷也錯．
例2 已知集合ａ＝｛，＋，＋2其中，ａ＝ｂ，求的值．
分析：本題最常見的錯誤是認為這兩個集合的對應項相同，列出相應的關係式，然後求出的值，這顯然違背了集合的無序性．
解：∵ａ＝ｂ，及集合元素的無序性 ，∴有以下兩種情形：
① 消去，解得＝1，此時＝＝，與集合中元素的互異性矛盾，∴ 1．
② 消去，解得＝－，或＝1（捨去），故的值為－．
評注：本題中，利用集合元素的無序性和兩集合相等時的元素特徵，得出兩個方程組，開啟了解題的大門，求出值後，又利用了集合元素的互異性進行檢驗，保證了所求的結果的準確性．
例3 設ａ＝｛ｘ∣＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂr｝，求ａ中所有元素之和．
錯解：由＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０得 （ｘ＋1）（ｘ＋ｂ＋1）＝０
（1）當ｂ＝０時，ｘ1 ＝x2 －1，此時ａ中的元素之和為－2．
（2）當ｂ０時，ｘ1 ＋x2 ＝－ｂ－2．
分析上述解法錯在（1）上，當ｂ＝０時，方程有二重根－1，集合ａ＝｛－1｝，故元素之和為－1，犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的「互異性」．因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的「互異性」．
例4 已知集合， b＝，且ab=,求值．
分析： ∵ ab= ∴ +4+2=7． 即=1，或=－5．
至此不少學生認為大功告成，事實上，這只求出了集合a，集合b中的元素是什麼,它是否滿足元素的互異性,有待於進一步檢查．當=－5時,2－=7， 在b中重複出現,這與元素的互異性相矛盾，故應捨去=－5．當=1時, b= 且ab=
∴ =1
評注：集合元素的確定性，互異性，無序性在解題中有重要的指導作用，忽視這一點差之毫釐則失之千里．
集合與函式、導數部分易錯題分析
1．進行集合的交、並、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.
2．你會用補集的思想解決有關問題嗎？
3．求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？
[問題]:、、的區別是什麼？
4．絕對值不等式的解法及其幾何意義是什麼？
5．解一元一次不等式（組）的基本步驟是什麼？
[問題]:如何解不等式：？
6．三個二次（哪三個二次？）的關係及應用掌握了嗎？如何利用二次函式求最值？注意到對二次項係數及對稱軸進行討論了嗎？
7．簡單命題與復合命題有什麼區別？四種命題之間的相互關係是什麼？如何判斷充分與必要條件？
[問題]：請舉例說明「否命題」與「命題的否定形式」的區別.
什麼是對映、什麼是一一對映？
[問題]：已知：a=，b=，那麼可以作個a到b上的對映，那麼可以作個a到b上的一一對映.
9．函式的表示方法有哪一些？如何判斷函式的單調性、週期性、奇偶性？單調性、週期性、奇偶性在函式的圖象上如何反應？
什麼樣的函式有反函式？如何求反函式？互為反函式的圖象間有什麼關係？
求乙個函式的解析式或乙個函式的反函式時，你註明函式的定義域了嗎？
[問題]：已知函式求函式的單調遞增區間.（你處理函式問題是是否將定義域放在首位）
[問題]：已知函式圖象與的圖象關於直線.
10、如何正確表示分數指數冪？指數、對數的運算性質是什麼？
11、你熟練地掌握了指數函式和對數函式的圖象與性質嗎?
[問題]：已知函式上，恒有，則實數取值範圍是
12．你熟練地掌握了函式單調性的證明方法嗎？（定義法、導數法）
13．如何應用函式的單調性與奇偶性解題?①比較函式值的大小；②解抽象函式不等式；③求引數的範圍（恆成立問題）.這幾種基本應用你掌握了嗎？
[問題]：寫出函式的圖象及單調區間.時,求函式的最值.這種求函式的最值的方法與利用均值不等式求函式的最值的聯絡是什麼？
[問題]：證明「函式的圖象關於直線對稱」與證明「函式與函式的圖象關於直線對稱」有什麼不同嗎？
例題講解
1、忽略的存在：
例題1、已知a=，b=，若ab，求實數m的取值範圍．
【錯解】ab，解得：
【分析】忽略a=的情況.
【正解】（1）a≠時，ab，解得：；
（2）a= 時，，得.
綜上所述， m的取值範圍是（,
2、分不清四種集合：、、、的區別.
例題2、已知函式，，那麼集合中元素的個數為
（a） 1b）0c）1或0d） 1或2
【錯解】：不知題意，無從下手,蒙出答案d.
【分析】：集合的代表元，決定集合的意義，這是集合語言的特徵.事實上，、、、分別表示函式定義域，值域，圖象上的點的座標，和不等式的解集.
【正解】：本題中集合的含義是兩個圖象的交點的個數.從函式值的唯一性可知，兩個集合的交中至多有乙個交點.即本題選c.
3、搞不清楚是否能取得邊界值：
例題3、a=，b=且ba，求m的範圍.
【錯解】因為ba，所以：.
【分析】兩個不等式中是否有等號，常常搞不清楚.
【正解】因為ba，所以：.
4、不理解有關邏輯語言：
例題4、「非空集合m的元素都是集合p的元素」是假命題，則以下四個命題：⑴m的元素都不是p的元素；⑵m中有不屬於p元素；⑶m中有p的元素；⑷m的元素不都是p的元素，其中真命題的個數有
（a）1個b）2個c）3個d）4個
【錯解】常見錯誤是認為第（４）個命題不對.
【分析】實際上，由「非空集合m的元素都是集合p的元素」是假命題知非空集合m不是集合p的子集，故「m的元素不都是p的元素」（m的元素有的是、有的不是集合p的元素，或m的元素都不是p的元素）是正確的.
【正解】正確答案是b（2、4兩個命題正確）.
5、解集錯誤地寫成不等式或不注意用字母表示的兩個數的大小：
例題5、若a<0, 則關於x的不等式的解集是
【錯解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集寫成了不等式的形式；沒搞清5 a和－a的大小.
【正解】
一、集合與函式
例1、已知集合，，那麼等於 （ ）
a.（0,2）,(1,1) b. c. d.
解析：由代表元素可知兩集合均為數集，又p集合中y是函式中的y的取值範圍，故p集合的實質是函式的值域。而q集合則為函式的定義域，從而易知，選d.
評注：認識乙個集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，從而確定其實質。
二、集合與方程
例3、已知，求實數p的取值範圍。
剖析：集合a是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，則由，可得兩種情況：
（1） a=φ，則由，得：
（2） 方程x2+(p+2)x+1=0無正實根。則或（x1x2=1>0）
於是三、集合與不等式
例5、已知集合a=，b=,
若a∩b≠φ，求實數m的取值範圍。
集合知識點精講精煉
第一章 集合與函式的概念 第一課時 集合 1.1集合的含義與表示 1.1.1集合的含義 我們一般把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母a b c等表示集合，用小寫字母a b c等表示元素，元素與集合之間的關係是屬於和不屬於。元素a屬於集合a，記做a a，反之，元素...
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