線性規劃常見題型及解法
線性規劃是新教材中新增的內容之一，由已知條件寫出約束條件，並作出可行域，進而通過平移直線在可行域內求線性目標函式的最優解是最常見的題型，除此之外，還有以下六類常見題型。
一、求線性目標函式的取值範圍
例1、 若x、y滿足約束條件 ，則z=x+2y的取值範圍是 （ ）
a、[2,6] b、[2,5] c、[3,6] d、（3,5]
解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y＝0，將
l向右上方平移，過點a（2,0）時，有最小值
2，過點b（2,2）時，有最大值6，故選a
二、求可行域的面積
例2、不等式組表示的平面區域的面積為 （ ）
a、4 b、1 c、5 d、無窮大
解：如圖，作出可行域，△abc的面積即為所求，由梯形ombc的面積減去梯形omac的面積即可，選b
三、求可行域中整點個數
例3、滿足|x|＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱座標都是整數）有（ ）
a、9個 b、10個 c、13個 d、14個
解：|x|＋|y|≤2等價於
作出可行域如右圖，是正方形內部（包括邊界），容易得到整點個數為13個，選d
四、求線性目標函式中引數的取值範圍
例4、已知x、y滿足以下約束條件 ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則a的值為 （ ）
a、－3 b、3 c、－1 d、1
解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay＝0，要使目標函式z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則將l向右上方平移後與直線x+y＝5重合，故a=1，選d
五、求非線性目標函式的最值
例5、已知x、y滿足以下約束條件 ，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是 （ ）
a、13，1 b、13，2
c、13， d、，
解：如圖，作出可行域,x2+y2是點（x，y）到原點的距離的平方，故最大值為點a（2,3）到原點的距離的平方，即|ao|2=13，最小值為原點到直線2x＋y－2=0的距離的平方，即為，選c
六、求約束條件中引數的取值範圍
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區域包含點（0,0）和（－1,1），則m的取值範圍是 （ ）
a、（-3,6） b、（0,6） c、（0,3） d、（-3,3）
解：|2x－y＋m|＜3等價於
由右圖可知,故0＜m＜3，選c
線性規劃的實際應用
在科學研究、工程設計、經濟管理等方面，我們都會碰到最優化決策的實際問題，而解決這類問題的理論基礎是線性規劃。利用線性規劃研究的問題，大致可歸納為兩種型別：第一種型別是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，的效益最大，第二種型別是給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小。
例1、某木器廠生產圓桌和衣櫃兩種產品，現有兩種木料，第一種有72m3，第二種有56m3，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產乙隻圓桌和乙個衣櫃分別所需木料如下表所示.每生產乙隻圓桌可獲利6元,生產乙個衣櫃可獲利10元.木器廠在現有木料條件下,圓桌和衣櫃各生產多少,才使獲得利潤最多?
解：設生產圓桌x只,生產衣櫃y個,利潤總額為z元,那麼而z=6x+10y.
如上圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區域,即可行域.
作直線l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經過可行域上點m,且與原點距離最大,此時z=6x+10y取最大值解方程組,得m點座標(350,100).
答:應生產圓桌350只,生產衣櫃100個,能使利潤總額達到最大.
指出:資源數量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規劃中常見的問題之一
例2、某養雞場有1萬只雞,用動物飼料和穀物飼料混合餵養.每天每只雞平均吃混合飼料0.5kg,其中動物飼料不能少於穀物飼料的.
動物飼料每千克0.9元,穀物飼料每千克0.28元,飼料公司每週僅保證**穀物飼料50000kg,問飼料怎樣混合,才使成本最低.
解:設每週需用穀物飼料x kg,動物飼料y kg,每週總的飼料費用為z元,那麼而z=0.28x+0.9y
如下圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區域,即可行域.
作一組平行直線0.28x+0.9y =t,其中經過可行域內的點且和原點最近的直線,經過直線x+y=35000和直線的交點,即,時,飼料費用最低.
所以,穀物飼料和動物飼料應按5:1的比例混合,此時成本最低.
指出:要完成一項確定的任務,如何統籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規劃中最常見的問題之一.
(例3圖例4圖)
例3、下表給出甲、乙、丙三種食物的維生素a、b的含量及成本:
營養師想購這三種食物共10千克,使之所含維生素a不少於4400單位,維生素b不少於4800單位,問三種食物各購多少時,成本最低?最低成本是多少?
解:設所購甲、乙兩種食物分別為x千克、y千克,則丙種食物為(10xy)千克.x、y應滿足線性條件為
,化簡得
作出可行域如上圖中陰影部分
目標函式為z=7x+6y+5(10xy)=2x+y+50,令m=2x+y,作直線l:2x+y=0,則直線2x+y=m經過可行域中a(3,2)時,m最小,即mmin=23+2=8，∴zmin=mmin+50=58答: 甲、乙、丙三種食物各購3千克、2千克、5千克時成本最低,最低成本為58元.
指出:本題可以不用**法來解,比如,由得
z=2x+y+50=(2xy)+2y+504+22+50=58,當且僅當y=2,x=3時取等號
總結：(1)設出決策變數,找出線性規劃的約束條件和線性目標函式;
(2)利用圖象,**性約束條件下找出決策變數,使線性目標函式達到最大(或最小).
2.線性規劃問題的一般數學模型是:已知(這個式子中的「」也可以是「」或「=」號)
其中aij (i=1,2,…,n, j=1,2,…,m),bi (i=1,2,…,n)都是常量,xj (j=1,2,…,m) 是非負變數,求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值,這裡cj (j=1,2,…,m)是常量.
(3)線性規劃的理論和方法主要在以下兩類問題中得到應用:一是在人力、物力資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務；二是給一項任務,如何合理安排和規劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務.
線性規劃中整點最優解的求解策略
在工程設計、經營管理等活動中，經常會碰到最優化決策的實際問題，而解決此類問題一般以線性規劃為其重要的理論基礎。然而在實際問題中，最優解 (x,y) 通常要滿足x,y∈n ，這種最優解稱為整點最優解，下面通過具體例子談談如何求整點最優解 .
1．平移找解法
作出可行域後，先打網格，描出整點，然後平移直線l，直線l最先經過或最後經過的那個整點便是整點最優解.
例1、某木器廠生產圓桌和衣櫃兩種產品，現有兩種木料，第一種有72m3，第二種有56m3，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產乙隻圓桌和乙個衣櫃分別所需木料如下表所示.每生產乙隻圓桌可獲利6元,生產乙個衣櫃可獲利10元.木器廠在現有木料條件下,圓桌和衣櫃各生產多少,才使獲得利潤最多?
解：設生產圓桌x只,生產衣櫃y個,利潤總額為z元,那麼而z=6x+10y.如圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區域,即可行域.
作直線l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經過可行域上點m,且與原點距離最大,此時z=6x+10y取最大值。
解方程組,得m點座標(350,100).答：應生產圓桌350只,生產衣櫃100個,能使利潤總額達到最大.
點評：本題的最優點恰為直線0.18x+0.
09y=72和0.08x+0.28y=56的交點m。
例 2 有一批鋼管，長度都是4000mm，要截成500mm和600mm兩種毛坯，且這兩種毛坯按數量比不小於配套，怎樣截最合理？
解：設截500mm的鋼管x根，600mm的y根，總數為z根。根據題意，得 ，目標函式為 ，
作出如圖所示的可行域內的整點，
作一組平行直線x+y=t，經過可行域內的點且和原點距離最遠的直線為過b（8，0）的直線，這時x+y=8.由於x,y為正整數，知（8，0）不是最優解。顯然要往下平移該直線，在可行域內找整點，使x+y=7，可知點（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均為最優解．答：
略．點評：本題與上題的不同之處在於，直線x+y=t經過可行域內且和原點距離最遠的點b（8，0）並不符合題意，此時必須往下平移該直線，在可行域內找整點，比如使x+y=7，從而求得最優解。
從這兩例也可看到，平移找解法一般適用於其可行域是有限區域且整點個數又較少，但作圖要求較高。
二、整點調整法
先按「平移找解法」求出非整點最優解及最優值，再借助不定方程的知識調整最優值，最後篩選出整點最優解．
例3．已知滿足不等式組，求使取最大值的整數．
解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內部（不含邊界），設與，與，與交點分別為，則座標分別為，，，
作一組平行線：平行於：，當往右上方移動時，隨之增大，
∴當過點時最大為，但不是整數解，又由知可取，
當時，代入原不等式組得， ∴；當時，得或， ∴或；
當時，， ∴，故的最大整數解為或．
3.逐一檢驗法
由於作圖有時有誤差，有時僅有圖象不一定就能準確而迅速地找到最優解，此時可將若干個可能解逐一校驗即可見分曉．
例4 一批長4000mm 的條形鋼材，需要將其截成長分別為518mm與698mm的甲、乙兩種毛坯，求鋼材的最大利用率．
解：設甲種毛坯截 x 根，乙種毛坯截 y 根，鋼材的利用率為 p ，則 ①，目標函式為 ②，線性約束條件①表示的可行域是圖中陰影部分的整點．②表示與直線518x+698y=4000平行的直線系。所以使p取得最大值的最優解是陰影內最靠近直線518x+698y=4000的整點座標．如圖看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最優解，將它們的座標逐一代入②進行校驗，可知當x=5,y=2時， ．
答：當甲種毛坯截5根，乙種毛坯截2根，鋼材的利用率最大，為99.65%．
解線性規劃問題的關鍵步驟是在圖（可行域）上完成的，所以作圖時應盡可能精確，圖上操作盡可能規範，但考慮到作圖時必然會有誤差，假如圖上的最優點並不十分明顯易辨時，不妨將幾個有可能是最優點的座標都求出來，然後逐一進行校驗，以確定整點最優解.
線性規劃習題精講
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