第一章:集合與函式的概念
第一課時:集合
1.1集合的含義與表示
1.1.1集合的含義:
我們一般把研究物件統稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合,簡稱集。通常用大寫字母a、b、c等表示集合,用小寫字母a、b、c等表示元素,元素與集合之間的關係是屬於和不屬於。元素a屬於集合a,記做a∈a,反之,元素a不屬於集合a,記做aa。
1.1.2集合中的元素的特徵:
①確定性:如世界上最高的山;
②互異性:由happy的字母組成的集合;
③無序性:如集合和集合是同乙個集合。
1.1.3集合的表示方法:①列舉法;②描述法;③venn圖;④用數軸表示集合。
1.1.4集合的分類:
①根據集合中元素的個數可分為有限集、無限集和空集。
②根據集合中元素的屬性可分為數集、點集、序數對等。
本節精講:
一. 如何判斷一些物件是否組成乙個集合:判斷一組物件能否組成集合,主要是要看這組物件是否是確定的,即對任何乙個物件,要麼在這組之中,要麼不在,二者必居其一,如果這組物件是確定的,那麼,這組物件就能夠組成乙個集合。
例:看下面幾個例子,判斷每個例子中的物件能否組成乙個集合。
(1)大於等於1,且小於等於100的所有整數;
(2)方程x2=4的實數根;
(3)平面內所有的直角三角形;
(4)正方形的全體;
(5)∏的近似值的全體;
(6)平面集合中所有的難證明的題;
(7)著名的數學家;
(8)平面直角座標系中x軸上方的所有點。
解:練習:
考察下列各組物件能否組成乙個集合,若能組成集合,請指出集合中的元素,若不能,請說明理由:
(1) 平面直角座標系內x軸上方的一些點;
(2) 平面直角座標系內以原點為圓心,以1為半徑的園內的所有的點;
(3) 一元二次方程x2+bx-1=0的根;
(4) 平面內兩邊之和小於第三邊的三角形
(5) x2,x2+1,x2+2;
(6) y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0);
(7) 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0;
(8) 新華書店中意思的**全體。
二.有關元素與集合的關係的問題:確定元素與集合之間的關係,即元素是否在集合中,還要看元素的屬性是否與集合中元素的屬性相同。
例:集合a=,集合b=,(a、b中x∈r,y∈r)選項中元素與集合之間的關係都正確的是( )
a、2∈a,且2∈bb、(1,2)∈a,且(1,2)∈b
c、2∈a,且(3,10)∈b d、(3,10)∈a,且2∈b
解:c練習:
3.1415 q; ∏ q; 0 r+; 1 ; -8 z;
三.有關集合中元素的性質的問題:集合中的元素有三個性質:分別是①確定性②互異性③無序性
例:集合a是由元素n2-n,n-1和1組成的,其中n∈z,求n的取值範圍。
解:n是不等於1且不等於2的整數。
練習:1. 已知集合m=,n=,a≠0,且m與n中的元素完全相同,求d和q的值。
2. 已知集合a=,b=,若a=b,則x2009+y2010的值為 ,a=b= .
3. (1)若-3∈求實數a的值; (2)若∈,求實數m的值。
4.已知集合m=,n=,且m=n,求a,b的值。
5.已知集合a=,(1)若a中只有乙個元素,求a的值; (2)若a中至多有乙個元素,求a的取值範圍。
四.集合的表示法:三種表示方法
練習;1. 用列舉法表示下列集合。
(1) 方程 x2+y2=2d的解集為 ;
x-y=0
(2)集合a=用列舉法表示為 ;
(3)集合b=用列舉法表示為 ;
(4)集合c=用列舉法表示為 ;
2.用描述法表示下列集合。
(1)大於2的整數a的集合;
(2)使函式y=有意義的實數x的集合;
(3)3.用venn圖法表示下列集合及他們之間的關係:
(1)a=,b=,c=,d=,e=,f=;
(2)某班共30人,其中15人喜歡籃球,10人喜歡兵乓球,8人對這兩項運動都不喜歡,則喜歡籃球但不喜歡桌球的人數為 ,用venn圖表示為: 。
五.有關集合的分類:
六.集合概念的綜合問題:
練習1. 若,則t的值為
2. 設集合a=,b=,試求當引數a=2時的集合a和b;
3. 已知集合a=,求(1)若集合a為空集,則a的取值範圍;(2)若集合a中只有乙個元素,求a的值,並寫出集合a;(3)若集合a中至少有乙個元素,則a的取值範圍。
1.1課後作業:
1.判斷下列各組物件能否組成集合:
(1)不等式的整數解的全體;
(2)我班中身高較高的同學;
(3)直線上所有的點;
(4)不大於10且不小於1的奇數。
2.用符號或填空:
(1)223)0
(45)0______(6)
(7)(8)
(9)3.寫出下列集合中的元素(並用列舉法表示):
(1)既是素數又是偶數的整數組成的集合
(2)大於10而小於20的合數組成的集合
4.用適當的方法表示:
(1)(x+1)2=0的解集;
(2)方程組的解集;
(3)方程3x-2y+1=0的解集;
(4)不等式2x-1≥0的解集;
(5)奇數集;
(6)被5除餘1的自然數組成的集合。
5.集合中a的取值範圍。
1.2集合間的基本關係
1.2.1子集:一般地,兩個集合a和b,如果
集合a中的任意乙個元素都是集合b中的元素,
我們就說這兩個集合有包含關係,稱集合a為集合b的子集,記做ab(或ba),讀作「a包含於b」(或「b包含a」) 。如右圖示。比如說,集合a=,集合b=,那麼,集合a中的元素1、2、3都屬於集合b,所以,集合a為集合b的子集,記做ab(或ba)。
1.2.2集合相等:如果集合ab且ba時,集合a中的元素與集合b中的元素是一樣的,因此,集合a與集合b相等,記做a=b。或ab。
1.2.3真子集:如果集合,但存在元素,且,我們稱集合a是集合b的真子集。記作:ab(或ba) 也可記作:(或)
1.2.4空集:我們把不含任何元素的集合叫做空集,記做,並規定:空集是任何非空集合的子集(當然是真子集)
本節精講:
一. 集合間的包含與相等的問題:對於集合相等,我們要從以下三個方面入手:
1 若集合ab且ba時,則a=b;反之,如果a=b,則集合ab且ba。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法,即欲要證明a=b,只需要證明ab和ba都成立就行了。
2 兩個集合相等,則所含元素完全相同,與集合中元素的順序無關。
3 要判斷兩個集合是否相等,對於元素較少的有限集合,可以用列舉法將元素列舉出來,看看兩個集合中的元素是否完全相同;若是無限集合,則因從「互為子集」兩個方面入手。
例:若集合,,且滿足,求實數的取值範圍.
解:練習:
1.已知,且,求實數p、q所滿足的條件.
2. 若,則( ).
a. b.
c. d.
3. 已知集合p={x|x2+x-6=0}與集合q={x|ax+1=0},滿足qp,求a的取值組成的集合a。
二. 有關子集以及子集個數的問題:
例1:判定以下關係是否正確
(2)=
(4)0∈ (5)=
解根據子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正確的,後兩個都是錯誤的.說明:含元素0的集合非空.
例2:列舉集合的所有子集.
分析:子集中分別含1,2,3三個元素中的0、1、2或者3個.
解:含有0個元素的子集有:
含有1個元素的子集有,,;
含有2個元素的子集有,,;
含有3個元素的子集有.共有子集8個.
例3:已知a,則滿足條件集合a的個數為________.
分析:a中必含有元素a,b,又a是子集,所以滿足條件的a有:,,,。
解:共3個.
例4:設集合a=,b=,則下列關係式中正確的是
解:a例5:已知集合a=,b=,又知非空集合c是這樣乙個集合:其各元素都加2後,就變為a的乙個子集;若各元素都減2後,則變為b的乙個子集,求集合c.
分析:逆向操作:a中元素減2得0,2,4,6,7,則c中元素必在其中;b中元素加2得3,4,5,7,10,則c中元素必在其中;所以c中元素只能是4或7.
答:c=或或.
練習:a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
是a.8個 b.7個 c.6個 d.5個
4.設i=,a=,b=,則:
①0________a ②________b ③cia________cib
5.已知a=,b=,那麼a與b的關係為
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