森林中住著很多動物，據說獅子大王派仙鶴去統計鳥類的種數，蝙蝠跑過去對仙鶴說；「我有翅膀，我應該是屬於鳥類的。」於是仙鶴就把蝙蝠統計到鳥類的種類裡去了，結果得出森林中一共有80種鳥類。獅子大王又派大象去統計野獸的種類數，蝙蝠聽說又來統計獸類了，急忙跑過去對大象說；「我沒有羽毛，我應該是屬於獸類的。
」於是大象就把蝙蝠統計到獸類的種類裡去了，結果統計出森林中一共有60種獸類。最後獅子大王問：「森林中共有鳥類和獸類多少種？
」狡猾的狐狸聽見了仙鶴和大象的統計結果，高興地向獅子大王匯報：「這還不簡單！森林中共有鳥類和獸類140種。
」這個統計正確嗎？
同學們肯定會說：「不對！蝙蝠被算了兩次，應該再減去一，是139種。
」這個故事說明了乙個數學問題，那就是被稱為「容斥原理」的包含與排除問題。當需要計數的兩類事物互相包含（有部分重複交*）時，應把重複計數的部分排除掉。由此我們得到逐步排除法（容斥原理）：
當兩個計數部分有重複時，為了不重複計數，應從它們的和中減去重複部分。
1、 五（1）班每人都訂閱了課外書，訂閱《小學生數學報》的有30人，訂閱《時代學習報》的有26人，兩種都訂閱的有14人，這個班共有多少人？
2、有乙個班每人都參加了一種課外興趣小組，參加舞蹈隊的有21人，參加合唱團的
32人，既參加舞蹈隊又參加合唱團的有9人，全班共有多少人？
3、在1到1000這1000個自然數中，能被5或7整除的數有多少個？（莫斯科市第四屆小學數學競賽試題）
4、 -某班有35名男生，規定他們至少參加籃球、排球﹑足球三個球隊中的乙個。結果參加籃球隊的人有16人，參加排球隊的有11人，參加足球隊的有20人，其中有4人同時參加籃、排球隊，有3人同時參加排、足球隊，沒有人同時參加籃、排、足三個隊。問同時參加籃、足球隊的有多少人？
5、某班有50個學生，每人至少參加乙個興趣小組其中有37人參加科技組，25人參加作文組，求同時參加兩個興趣小組的人數相當於全班人數的百分之幾？
6、有100個人，其中10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語，既懂英語又懂俄語的有多少人？
9、求下面兩個長方形紙片所蓋住的桌面的面積。（單位：厘公尺）
10、如下圖，一張圓形紙片的面積是10平方分公尺，乙個正方形紙片的面積是8平方分公尺，兩個紙片在桌面蓋的面積是12平方分公尺，兩張紙片重合部分的面積是多少平方分公尺？
11、50個學生中帶原子筆的有10人，帶鋼筆的有45人，兩種筆都沒帶的有1人，兩種筆都帶的有多少人？
12、***出了兩道題，全班40人中，第一道題有30人對，第二道題有12人沒答對，兩道題都答對的有20人（全國小學生競賽題）
（1）第二道題答對第一道題沒對的有幾人？
（2）兩道題都沒答對的有幾人？
13、在乙個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？
14、例2 某個班的全體學生進行短跑、游泳、籃球三個專案的測試，有4名學生在這三個專案上都沒有達到優秀，其餘每人至少有乙個專案達到了優秀。這部分學生達到優秀的專案、人數如下表： 求這個班的學生人數。
（全國第三屆「華盃賽」複賽試題）
15、有40名運動員，其中25人會摔跤，20人會擊劍，10人擊劍、摔跤都不會，問既會摔跤又會擊劍的運動員有多少人?（第一屆我愛數學邀請賽）
16、8．某校參加數學競賽有l20名男生，80名女生，參加語文競賽有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學生參加了競賽，其中有75名男生兩科競賽都參加了，那麼只參加數學競賽而沒有參加語文競賽的女生人數是人。（第二屆小學祖沖之杯數學邀請賽）
17、參加大型團體操的同學共有240名，他們面對教練站成一排，自左至右按1、2、3、4、……依次報數，教練讓每個同學記住自己報的數並做以下動作：先讓報數字3的倍數的同學向後轉，接著又讓報數是5的倍數同學向後轉，最後讓報數是7的倍數的學生向後轉，問此時還有多少學生面對教練？（第十一屆江蘇省數學競賽題）
腰果齊麟容斥問題
容斥問題 兩集合標準公式 三集合標準公式 三集合變形公式 圖示標數法 見到 只滿足某乙個 考慮畫圖 畫圖時從中心向外側填數 例1 某單位對60名工作人員進行行政許可法測驗，在第一次測驗中有27人得滿分，在第二次測驗中有32人得滿分。如果兩次測驗中都沒有得滿分的有17人，那麼兩次測驗中都獲得滿分的人數...
奧數 流水行船問題
例1 船在靜水中的速度為每小時13千公尺，水流的速度為每小時3千公尺，船從甲港順流而下到達乙港用了15小時，從乙港返回甲港需要多少小時？1 乙隻船在靜水中每小時行12千公尺，在一段河中逆水航行4小時行了36千公尺。這條河水流的速度是多少千公尺？2 一艘輪船在靜水中航行，每小時行15千公尺，水流的速度...
奧數題 年齡問題
例1 小華今年12歲，他媽媽今年48歲，多少年以前媽媽的年齡是小華的5倍？多少年以後媽媽的年齡是小華的3倍？解 首先，不管是今年或今年前 今年後的若干年，小華和他媽媽年齡的差都是相同的，媽媽的年齡比小華大48 12 36 歲 當媽媽的年齡是小華的5倍時，把那時小華的年齡作為1份，媽媽的年齡是這樣的5...