...第三講高考熱點問題和解題策略
一、應用問題
應用問題的「考試要求」是考查考生的應用意識和運用數學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：
1、要求考生關心國家大事，了解資訊社會，講究聯絡實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，明確「數學有用，要用數學」，並積累處理實際問題的經驗。
2、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉資訊，將普通語言轉化為數學語言，以數學語言為工具進行數學思維與交流。
3、考查建立數學模型的初步能力，並能運用「考試說明」所規定的數學知識和方法來求解。
對應用題，考生的弱點主要表現在將實際問題轉化成數學問題的能力上。實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高閱讀能力即數學審題能力，審出函式、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字敘述所反應的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關係，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立對應的數學模型解答。可以說，解答乙個應用題重點要過三關：
一是事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言；三是數理關，即構建相應的數學模型，構建之後還需要紮實的基礎知識和較強的數理能力。
求解應用題的一般步驟是（四步法）：
1、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關係；
2、建模：把主要關係近似化、形式化，抽象成數學問題；
3、求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解；
4、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節，最後將結果應用於現實，作出解釋或驗證。
在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些型別：數列模型、函式模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。
ⅰ、再性性題組：
1.某種細菌在培養過程中，每20分鐘**一次（乙個**為兩個），經過3小時，這種細菌由1個可繁殖成______。(94年全國高考)
a. 511個 b. 512個 c. 1023個 d. 1024個
2.如圖，以牆為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，並用平行於一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長為定值l，這塊場地的長為_______時，場地面積最大，最大面積是82年全國高考)
3.圓柱軸截面的周長l為定值，那麼圓柱體積的最大值是_______。(93年全國高考)
abcd. 2()π
4.在半徑為30m的圓形廣場**上空，置乙個照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個廣場，則其高度應為_______。(精確到0.
1m) (93年全國高考)
5.甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，共有_______種承包方式。(86年全國高考)
【簡解】1小題：答案b；
2小題：設長x，面積s＝x×≤()，答案：長為，最大面積；
3小題：v＝πr＝πr(－2r)≤π()，選a；
4小題：由＝tg60°得h＝10≈17.3；
5小題：ccc＝1680。
ⅱ、示範性題組：
例1．某地現有耕地10000公頃，規劃10年後糧食單產比現有增加22％，人均糧食產量比現在提高10％，如果人口年增長率為1％，那麼耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（96年全國高考）
（糧食單產＝ ； 人均糧食產量＝）
【分析】此題以關係國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組資料，要求考生從兩條線索抽象數列模型，然後進行比較與決策。
【解】1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數及三個百分率，其中人均糧食占有量p＝， 主要關係是：p≥p。
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年後糧食單產為a(1＋0.
22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）。
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋c×0.01＋c×0.01＋c×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答。（答略）
【另解】1.讀題：糧食總產量＝單產×耕地面積； 糧食總占有量＝人均占有量×總人口數；
而主要關係是： 糧食總產量≥糧食總占有量
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年後糧食單產為a(1＋0.
22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）。
∴ a(1＋0.22)×(1o－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋c×0.01＋c×0.01＋c×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答。（答略）
【注】本題主要是抓住各量之間的關係，注重3個百分率。其中耕地面積為等差數列，總人口數為等比數列模型，問題用不等式模型求解。本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數函式、不等式、增長率、二項式定理應用於近似計算等知識熟練。
此種解法可以解決有關統籌安排、最佳決策、最優化等問題。此種題型屬於不等式模型，也可以把它作為數列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型後解出不等式。
在解答應用問題時，我們強調「評價」這一步不可少！它是解題者的自我調節，比如本題求解過程中若令1.01≈1,算得結果為x≤98公頃，自然會問：
耕地減少這麼多，符合國家保持耕地的政策嗎？於是進行調控，檢查發現是錯在1.01的近似計算上。
例2．已知某市2023年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2023年底該市人均住房面積（精確到0.01）？（91年上海高考）
【分析】城市每年人口數成等比數列，每年住房總面積成等比數列，分別寫出2023年後的人口數、住房總面積，從而計算人均住房面積。
【解】1.讀題：主要關係：人均住房面積＝
2.建模：2023年底人均住房面積為
3.求解：化簡上式＝，
∵ 1.02＝1＋c×0.02＋c×0.02＋c×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面積為≈4.92
4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2023年底該市人均住房面積為4.92m。
【注】一般地，涉及到利率、產量、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出資料成等差數列還是等比數列，然後用兩個基礎數列的知識進行解答。此種題型屬於應用問題中的數列模型。
例3．甲、乙兩地相距s千公尺，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千公尺／時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千公尺／時）的平方成正比，比例係數為b；固定部分為a元。
① 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千公尺／時）的函式，並指出函式的定義域；
② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ （97年全國高考）
【分析】幾個變數（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯，抽象出其中的函式關係，並求函式的最小值。
【解】（讀題）由主要關係：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千公尺／時）的函式關係式是：y＝s(＋bv)，其中函式的定義域是v∈(0,c]。
整理函式有y＝s(＋bv)＝s(v＋)，
由函式y＝x＋(k>0)的單調性而得：
噹噹≥c時，則v＝c時，y取最小值。
綜上所述，為使全程成本y最小，當【注】對於實際應用問題，可以通過建立目標函式，然後運用解（證）不等式的方法求出函式的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關係，如本題中速度v的範圍，一旦忽視，將出現解答不完整。此種應用問題既屬於函式模型，也可屬於不等式模型。
am c d b
例4．如圖，假設河的一條岸邊為直線mn，ac⊥mn於c，點b、d在mn上，現將貨物從a地經陸地ad於水陸bd運往b地，已知ac＝10km，bd＝30km，又陸地單位距離的運價是水陸單位距離運價的2倍，為使運費最少，d點應選在距c點多遠處？
【分析】設∠adc＝α後，將ad、bc用α表示，進而將運費表示成α的函式是，再求運費最小值等。
【解】設∠adc＝α，則ad＝，bd＝30－10ctgα，
設水路每km的運費為1，則運費y＝(30－10ctgα)＋2×
＝10(3－＋)＝10(3＋)
設t＝，即t×sinα＋cosα＝2,有sin(α＋θ)＝2,
∴≥2即t≥。
當t＝時，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1,
∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。
∴ cd＝10ctgα＝km
綜上所述，d點應選在距c點km時運費最少。
【注】作為工具學科的三角，跨學科的應用是它的特點，不少物理學、工程測量、航海航空等應用題都可以轉化為三角函式來解決，或者運用解三角形中的基本知識和手段進行解答，此種題型屬於應用問題中的三角模型。
在解答應用問題中，最常見的是以上的幾種模型，即：函式模型、不等式模型、數列模型、三角模型。此外，其它的幾種應用問題模型有：
與排列組合有關的應用問題，特徵比較明顯，屬於排列組合模型，解答時一定要分清楚是分類還是分步，是排列還是組合，是否有重複和遺漏；與光學、力學、軌跡等有關方面的應用問題，可通過建立適當的座標系，運用曲線的知識來建立數學模型來解答，且曲線研究主要是二次曲線，所以可稱之為二次曲線模型。
工程管理的熱點問題
2 專案組織形式選擇 組織設計 結構，組織運作規則，流程管理 責任矩陣 3 專案組織行為研究 環境對組織結構和行為的影響 不同文化背景的人的專案組織行為 4 專案組織的運作 如何有效決策 團隊建設 部門協調 高效率的控制 5 專案組織的變化 演變 創新和變更的管理 6 企業專案組織問題。屬於企業管理...
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一 書面作品提交聯絡人 如有其它問題或不明事項均可與相應聯絡人聯絡進行詢問 二 參賽作品規範 一 作品主題 校園熱點 二 作品內容 參賽作品不得違反有關法律 法規以及公認的道德規範，不 得侵犯他人智財權，不得剽竊 抄襲他人作品，一經查實取消 獲獎資格。盡量避免易引起爭議話題，注意問題的敏感性，合乎 ...