西安高新第一中學楊天旭
一、例項匯入
師：我們先來看一**片（多**展示帆船航行的過程）。
疑問：這支帆船為什麼沒有到達目的地b處？（學生此時不必回答）
師：我們再來看乙個物體受力的分析圖（多**展示）。
疑問：這個人能否拉動該物體？（學生此時不必回答）
師問：請同學們思考上面的兩個問題，先直接回答這兩個問題，緊接著思考問題根源的共性並回答。
學生甲：這支帆船雖然走的路程不少，也是15海浬，但航行的方向沒有按規定進行，所以沒有到達目的地b。
學生乙：這個人拉動的力的方向不正確，不是水平方向的，而且是向下的，所以拉不動。
學生丙：這兩個問題的共性就是對方向有要求。
師：哪位同學能歸納概括一下由上面兩個問題所反映出的一種普偏現象？
生：有一種量，它是有方向的。
師：很好，答到了要害處，有沒有需要補充的？
生：有一種量，它是既有大小又有方向的。
師：同學們回答得很好，很會思考問題和歸納問題。本堂課上，我們就一起來學習這種量，我們把它叫做向量。（教師板書課題——向量的概念）
二、新課講授與學習
1．向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。（板書）
師：我們如何來表示向量呢？請同學們思考片刻。
師：這之前我們表示過一些向量嗎？
學生甲：在物理學中我們表示過一些向量，比如力的表示。
師：好，那我們來做件事情，請畫出乙個靜止在水平面上的物體的受力情況，該物體所受的重力是10n。（教師用多**展示問題，板書物體擺放圖）
師：請一位同學到黑板上來畫出受力分析圖。
學生乙：先畫出刻度（物理上稱標度，該生把5n定為乙個標度），進而畫出方向向上的支援力f和方向向下的重力g。
師：畫得很好。物理中的向量就是數學中的向量，那麼，我們就找到了向量的一種表示形式——圖示。
2．向量的幾何表示：用一條帶箭頭的線段來表示向量，我們稱為向量的幾何表示，並稱這樣的線段為有向線段。（板書）
有向線段的記法有兩種：
（1）用有向線段的起點字母（大寫）和終點字母（大寫）來記，並表上箭頭，如上面的支援力可記為；
（2）用小寫的字母帶上箭頭來記，如，如果是印刷體，可用粗體的小寫字母，不需帶箭頭。
板書：向量的符號記法：或。
師：請同學們根據物理中畫向量的方法，歸納概括出畫有向線段的作法。
生：首先確定刻度，再確定起點，然後確定方向，根據方向和起點最後來確定終點。
師：說得很好，要點都說到了。下面我把作有向線段的一般步驟展示出來，供同學們參考。（多**展示）
附一般步驟如下：
（1）確定刻度：選定乙個長度代表實際量的多少，如1cm長代表5n的力，把這個長度定為1刻度，畫實際長度，標實際大小；
（2）確定起點位置，並標明字母；
（3）按規定方向由起點出發畫出一條射線；
（4）按規定把大小轉變成長度，依長度在射線上確定一點，即為終點，標明字母，標註箭頭。
師：請同學們反饋意見。
生：在刻度的確定上還有些疑惑，為什么要做這樣的規定呢？
師：由於有向線段的大小是用長度來刻畫的，所以必須把向量的大小轉化為長度後才能畫有向線段，這裡有個轉化的過程。既然是轉化，就要有規定。
規定刻度時有兩種情況，當向量的大小就是用長度來刻畫的，如物理中的位移，此時可以按原長度單位來規定刻度，就不需要轉化，也可以按比例尺來規定刻度，就需要轉化；另一種情況，當向量的大小是用其他度量單位度量的，如物理中的力，就需要轉化。我說清楚了嗎？
生：明白了。
師：下面，我們想在剛才的學習過程中提煉出兩個概念。我們知道，畫一條有向線段時，確定刻度是首要的，如果我們把刻度帶上方向，並要求與我們要畫的有向線段的方向一致，就得到乙個新的向量，這個新的向量顯然是有意義的，於是我們把它提煉出來，稱這個向量為所畫向量的單位向量。
3．單位向量：與向量方向相同，且長度為1的向量叫做向量的單位向量。（板書，並用多**展示單位向量的特點）
師：下面我們繼續提煉。同學乙在前面畫受力分析圖時，共畫出了兩個向量（支援力和重力），請問它們的向量和為多少？
生：合力為零。
師：很好，這是乙個很有意思的物理結果，這個結果在物理中有表示嗎？比如用專用名詞或符號來表示。
生：沒有。
師：既然是這麼有意思的結果，就應該把它專門表示出來，在數學中就解決了這個問題。我們把這樣的結果也叫做向量，稱為零向量。這就是我們要提煉的第二個概念。
4．零向量：長度為零的向量叫做零向量，用表示。如。（板書）
三、鞏固與思考
1．如圖，在矩形abcd中，向量與向量有什麼關係？向量與呢？（多**給出）
師：請同學在說關係的時候可以發散些，盡量說的廣泛些。題做好後與同桌交流，互相批改，有錯誤相互訂正，若還有疑問可向老師提出。
（結果：對於第乙個問題，有學生說成互為反向量的關係，有的學生說成兩個向量的和為零向量，還有的學生說成這兩個向量平行，這些說法教師都給予了肯定。當然，也有學生說成這兩個向量是相等的，這顯然是錯誤的，忽略了方向，此時，除了同桌給予糾正，教師也做了說明。
對於第二個問題，說法就很多了，有說相交的，有說大小是相等的，有說相等的，等等。教師在說明時並沒有做過多糾纏，對於那些可以在本堂課上作明確答覆的都作了說明，而有些回答是不能在本堂課上答覆的，如相交的關係等，教師就沒有答覆，告知學生在以後的學習中會逐一解決的。）
感受：學生的思維非常活躍，在積極地推著老師走。
2．某汽車從a地出發，以60km/h的速度向西南方向勻速行駛15km到達b地。請選擇適當的方法，用有向線段表示出汽車的速度（向量）。（多**給出）
師：請同學們獨自完成此題，我會將好的作品給大家展示出來。
（結果：大部分同學做得較好，個別學生的作品非常漂亮，做了展示）
存在的問題：
（1）題意沒有理解，把速度（向量）畫成了位移；
（2）刻度的規定上不夠恰當，個別同學用1cm代表1km/h，導致一張紙畫不下一張圖，暴露出實踐經驗不足；
（3）個別學生不清楚「西南方向」的意思，說明對生活中的常識了解不夠；
（4）個別學生答題不夠規範，包括畫圖不准、標記不明確、書寫不規範等。
3．思考：表示某個確定向量的有向線段的起點可以變化嗎？為什麼？
注：由於時間關係，這道題學生沒有做回答，留作了回家的作業題。
四、課堂小結
1．學生小結：
學生甲：本堂課上我們學習了向量的概念，其中有有向線段、零向量和單位向量。
學生乙：本堂課上我們還學習了一些方法，如怎樣畫一條有向線段。
學生丙：這節課我們還學習了相關的物理知識，並知道了物理中的向量和我們今天學習的向量是一回事。
2．教師補充：
同學們總結得很好，說明同學們的學習效果是非常好的。在這裡我作些補充：
本節課上，我們還應該注意到數學思想方法的感受。如用有向線段這樣的幾何圖形來表示向量，其中蘊含著數形結合的思想方法；再如把向量的大小變更成線段的長短，這裡包含著轉化和對應的思想方法。
另外，我們感受到數學概念——向量，與客觀現實聯絡很緊，應用性很強，我國最近成功發射的嫦娥一號探月衛星就與向量知識有很大關係，這充分說明學好數學才能為我們祖國做出更大貢獻。我們應該對數學的學習更加有興趣，更加有信心。
我們還感受到數學和物理兩個學科之間的聯絡非常緊密。它們互相作用，相互推進，共同發展，為科學的發展起到了很大的推動作用。其實，古來如此，如牛頓建立微積分學，靠的就是他在物理學中的深刻感受和借助萊布尼茨的幾何學理論。
把這種學科間的交流和聯絡轉移到同學之間的生活和學習上來，我們就應該更多的交流、溝通、合作，使自己得到更大的發展。本節課上，我們還應該注意到數學思想方法的感受。如用有向線段這樣的幾何圖形來表示向量，其中蘊含著數形結合的思想方法；再如把向量的大小變更成線段的長短，這裡包含著轉化和對應的思想方法。
另外，我們感受到數學概念——向量，與客觀現實聯絡很緊，應用性很強，我國最近成功發射的嫦娥一號探月衛星就與向量知識有很大關係，這充分說明學好數學才能為我們祖國做出更大貢獻。我們應該對數學的學習更加有興趣，更加有信心。
我們還感受到數學和物理兩個學科之間的聯絡非常緊密。它們互相作用，相互推進，共同發展，為科學的發展起到了很大的推動作用。其實，古來如此，如牛頓建立微積分學，靠的就是他在物理學中的深刻感受和借助萊布尼茨的幾何學理論。
把這種學科間的交流和聯絡轉移到同學之間的生活和學習上來，我們就應該更多的交流、溝通、合作，使自己得到更大的發展。
五、作業布置
1．剛才的那道思考題。
2．課本p78習題2—1中的1，2，3。
3．**數學中的向量和物理中的向量有什麼區別。
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平面向量的概念」的教學與反思
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7 1 1平面向量的概念
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