向量的概念教學設計
向量是近代數學中重要和基本概念之一,它集"大小"與"方向"於一身,融"數"、"形"於一體,具有幾何形式與代數形式的"雙重身份",是高中數學重要的知識網路的交匯點,也是數形結合思想的重要載體.這節通過對物理中的位移和力的歸納,抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義.與數學中的許多概念一樣,都可以追溯它的實際背景.
這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等.難點是向量的概念.
教學目標
1. 通過對平面向量概念的抽象概括,體驗數學概念的形成過程,培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法,使學生逐步由感性思維上公升為理性思維.
2. 理解向量的概念,會用有向線段表示向量,會判斷零向量,單位向量,平行的、相等的、共線的向量.
任務分析
在這之前,學生接觸較多的是只有大小的量(數量).其實生活中還有一種不同於數量的量---向量.剛一開始,學生很不習慣,但可適時地結合例項,逐步讓學生理解向量的兩個基本要素---大小和方向,再讓學生於實際問題中識別哪些是向量,哪些是數量.
這樣由具體到抽象,再由抽象到具體;由實踐到理論,再由理論到實踐,可使學生比較容易地理解.緊緊抓住向量的大小和方向,便於理解兩個向量沒有大小之分,只有相等與不相等、平行與共線等.要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量(向量可以平移).
這些均可為以後用向量處理幾何等問題帶來方便.
教學設計
一、問題情景
數學是研究數量關係和空間形式的科學.思考以下問題:
1. 在數學或其他學科中,你接觸過哪些型別的量?這些量本質上有何區別?試描述這些量的本質區別.
2. 既有大小又有方向的量應如何表示?
二、建立模型
1.學生分析討論
學生回答:人的身高,年齡,體重;……圖形的面積,體積;物體的密度,質量;……物理學中的重力、彈力、拉力,速度、加速度,位移……
引導學生慢慢抽象出數量(只有大小)和向量(既有大小又有方向)的概念.
2. 教師明晰
人們在長期生產生活實踐中,會遇到兩種不同型別的量,如身高、體重、面積、體積等,在規定的單位下,都可以用乙個實數表示它們的大小,我們稱之為數量;另一類,如力、速度、位移等,它們不僅有大小,而且有方向.作用於某物體上的力,它不僅有大小,而且有作用方向;物體運動的速度既有快慢之分,又有方向的區別.這類既有數量特性又有方向特性的量,就是我們要研究的向量.
在數學上,往往用一條有方向的線段,即有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量不僅可以用有向線段表示,也可用a,b,c,…表示,還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如 ,向量的大小就是向量的長度(模),記作 .
長度為零的向量叫零向量,記作0或 .長度等於1的向量叫作單位向量.
方向相同或相反的非零向量叫平行向量,記作a∥b,規定0∥a(a為任一向量)
長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量,記作a=b.任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示,並且與有向線段的起點無關.在同一平面上,兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量.
因為向量完全由它的方向和模決定.
任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫"共線向量".
3. 提出問題,組織學生討論
(1)時間、路程、溫度、角度是向量嗎?速度、加速度、物體所受重力是向量嗎?
(2)兩個單位向量一定相等嗎?
(3)相等向量是平行向量嗎?
(4)物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎?
(5)方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎?強調:大小、方向是向量的兩個基本要素,當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時,兩個向量才相等.
注意:相等向量、平行向量、共線向量之間的異同.
三、解釋應用
[例題]
如圖,邊長為1的正六邊形abcdef的中心為o,試分別寫出與相等、平行和共線的向量,以及單位向量.
解: 都是單位向量.
[練習]
1. 如圖,d,e,f分別是△abc各邊的中點,試寫出圖中與相等的向量.
2. 如果四邊形abcd滿足 ,那麼四邊形abcd的形狀如何?
3. 設e,f,p,q分別是任意四邊形abcd的邊ab,bc,cd,da的中點,對於 ,哪些是相等的向量,哪些方向是相反的向量?
4. 在平面上任意確定一點o,點p在點o"東偏北60°,3cm"處,點q在點o"南偏西30°,3cm"處,試畫出點p和q相對於點o的向量.
5. 選擇適當的比例尺,用有向線段分別表示下列各向量.
(1)在與水平成120°角的方向上,乙個大小為50n的拉力.
(2)方向東南,8km/h的風的速度.
(3)向量
四、拓展延伸
1. 如圖,在 abcd中,e,f分別是cd,ad的中點,在向量中相等的向量是哪些?為什麼?
2. 數能進行運算,那麼與數的運算模擬,向量是否也能進行運算?
案例點評
這篇案例設計完整,思路清晰.該案例首先通過例項闡述了向量產生的背景,然後歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念,充分體現了數學教學的本質是教學思維過程的教學,符合新課程標準的精神.例題與練習由淺入深,完整,全面.
"拓展延伸"的設計有新意,有深度.為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平台.
數學平面向量的實際背景及基本概念教學設計
一 教學分析 本節是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據原有的位移 力等物理概念來學習向量的概念,結合圖形實物區分平行向量 相等向量 共線向量等概念.由於向量 於物理,並且兼具 數 和 形 的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之...
《向量de概念》教學實錄
西安高新第一中學楊天旭 一 例項匯入 師 我們先來看一 片 多 展示帆船航行的過程 疑問 這支帆船為什麼沒有到達目的地b處？學生此時不必回答 師 我們再來看乙個物體受力的分析圖 多 展示 疑問 這個人能否拉動該物體？學生此時不必回答 師問 請同學們思考上面的兩個問題，先直接回答這兩個問題，緊接著思考...
平面向量的實際背景及基本概念教學設計
一 課標要求 通過力和力的分析等例項，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。二 教材分析 一 本節的地位和作用 向量是近代數學最重要的和最基本的數學概念之一，它是溝通代數 幾何和三角函式的橋梁，是解決幾何問題的有力工具，對更新和完善中學數學知識結構起著重要的作用。向量...