在本講中，我們研究兩個運動物體作方向相同的運動時，路程、速度、時間這三個基本量之間有什麼樣的關係.
例1 下午放學時，弟弟以每分鐘40公尺的速度步行回家.5分鐘後，哥哥以每分鐘60公尺的速度也從學校步行回家，哥哥出發後，經過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學校到家有足夠遠，即哥哥追上弟弟時，仍沒有回到家）.
分析若經過5分鐘，弟弟已到了a地，此時弟弟已走了40×5=200（公尺）；哥哥每分鐘比弟弟多走20公尺，幾分鐘可以追上這200公尺呢？
解： 40×5÷（60-40）
=200÷20
=10（分鐘）
答：哥哥10分鐘可以追上弟弟.
我們把類似例1這樣的題，稱之為追及問題.如果我們把開始時刻前後兩物體（或人）的距離稱為路程差（如例1中的200公尺），從開始時刻到後者追上前者路程差這一段路程所用的時間稱為追及時間，則從例1容易看出：追及問題存在這樣的基本關係：
路程差=速度差×追及時間.
如果已知其中的兩個量，那麼根據上式就很容易求出第三個量.
例2 甲、乙二人練習跑步，若甲讓乙先跑10公尺，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙.問：甲、乙二人的速度各是多少？
分析若甲讓乙先跑10公尺，則10公尺就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時間，據此可求出他們的速度差為10÷5=2（公尺/秒）；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個過程中，追及時間為4秒，因此路程差就等於2×4=8（公尺），也即乙在2秒內跑了8公尺，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.綜合列式計算如下：
解： 乙的速度為：10÷5×4÷2=4（公尺/秒）
甲的速度為：10÷5+4=6（公尺/秒）
答：甲的速度為6公尺/秒，乙的速度為4公尺/秒.
例3 某人沿著一條與鐵路平行的筆直的小路由西向東行走，這時有一列長520公尺的火車從背後開來，此人在行進中測出整列火車通過的時間為42秒，而在這段時間內，他行走了68公尺，則這列火車的速度是多少？
分析整列火車通過的時間是42秒，這句話的意思是：從火車的車頭追上行人時開始計時，直到車尾超過行人為止共用42秒，因此，如果我們把火車的運動看作是車尾的運動的話，則本題實際上就是乙個車尾與人的追及問題，開始時刻，它們的路程差就等於這列火車的車長，追及時間就等於42秒，因此可以求出它們的速度差，從而求出火車的車速.
解： 520÷42+68÷42
=（520+68）÷42
=588÷42
=14（公尺/秒）
答：火車的車速為14公尺/秒.
例4 幸福村小學有一條200公尺長的環形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6公尺，晶晶每秒鐘跑4公尺，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少公尺，第2次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？
分析這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致.因此，當冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環形跑道的乙個周長（200公尺），又知道了冬冬和晶晶的速度，於是，根據追及問題的基本關係就可求出追及時間以及他們各自所走的路程.
解： ①冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：
200÷（6-4）=100（秒）
②冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應為：6×100=600（公尺）
③晶晶第一次被追上時所跑的路程：
4×100=400（公尺）
④冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數：
（600×2）÷200=6（圈）
⑤晶晶第2次被追上時所跑的圈數：
（400×2）÷200=4（圈）
答：略.
解答封閉路線上的追及問題，關鍵是要掌握從並行到下次追及的路程差恰是一圈的長度.
例5 軍事演習中，「我」海軍英雄艦追擊「敵」**，追到a島時，「敵」艦已在10分鐘前逃離，「敵」艦每分鐘行駛1000公尺，「我」海軍英雄艦每分鐘行駛1470公尺，在距離「敵」艦600公尺處可開炮射擊，問「我」海軍英雄艦從a島出發經過多少分鐘可射擊敵艦？
分析 「我」艦追到a島時，「敵」艦已逃離10分鐘了，因此，在a島時，「我」艦與「敵」艦的距離為10000公尺（=1000×10）.又因為「我」艦在距離「敵」艦600公尺處即可開炮射擊，即「我」艦只要追上「敵」艦9400（=10000公尺-600公尺）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據公式求得追及時間.
解： （1000×10-600）÷（1470-1000）
=（10000-600）÷470
=9400÷470
=20（分鐘）
答：經過20分鐘可開炮射擊「敵」艦.
例6 在一條直的公路上，甲、乙兩個地點相距600公尺，張明每小時行4公里，李強每小時行5公里.8點整，張李二人分別從甲、乙兩地同時出發相向而行，1分鐘後他們都調頭反向而行，再經過3分鐘，他們又調頭相向而行，依次按照1，3，5，…（連續奇數）分鐘數調頭行走，那麼張、李二人相遇時是8點幾分？
分析無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000÷60+5000÷60=150（公尺）.如果兩人一直相向而行，那麼從出發經過600÷150=4（分鐘）兩人相遇.顯然，按現在的走法，在16分鐘（=1+3+5+7）之內兩人不會相遇.
在這16分鐘之內，他們相向走了6分鐘（=1+5），反向走了10分鐘（=3+7），此時兩人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200公尺，因此，再相向行走，經過1200÷150=8（分鐘）就可以相遇.
解： 600+150×（3+7-1-5）=1200（公尺）
1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分鐘）
1+3+5+7+8=24（分鐘）
答：兩人相遇時是8點24分.
例7 自行車隊出發12分鐘後，通訊員騎電單車去追他們，在距出發點9千公尺處追上了自行車隊，然後通訊員立即返回出發點；隨後又返回去追自行車隊，再追上時恰好離出發點18千公尺，求自行車隊和電單車的速度.
分析在第一次追上自行車隊與第二次追上自行車隊之間，電單車所走的路程為（18+9）千公尺，而自行車所走的路程為（18-9）千公尺，所以，電單車的速度是自行車速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））；電單車與自行車的速度差是自行車速度的2倍，再根據第一次電單車開始追自行車隊時，車隊已出發了12分鐘，也即第一次追及的路程差等於自行車在12分鐘內所走的路程，所以追及時間等於12÷2=6（分鐘）；聯絡電單車在距出發點9千公尺的地方追上自行車隊可知：電單車在6分鐘內走了9千公尺的路程，於是電單車和自行車的速度都可求出了.
解： （18+9）÷（18-9）=3（倍）
12÷（3-1）=6（分鐘）
9÷6=1.5（千公尺/分鐘）
1.5÷3=0.5（千公尺/分鐘）
答：電單車與自行車的速度依次為1.5千公尺/分鐘，0.5千公尺/分鐘.
例8 a、b兩地間有條公路，甲從a地出發，步行到b地，乙騎電單車從b地出發，不停地往返於a、b兩地之間，他們同時出發，80分鐘後兩人第一次相遇，100分鐘後乙第一次追上甲，問：當甲到達b地時，乙追上甲幾次？
+分析由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20（分鐘）內所走的路程恰等於線段fa的長度再加上線段ae的長度，即等於甲在（80+100）分鐘內所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），則bf的長為af的9倍，所以，甲從a到b，共需走80×（1+9）=800（分鐘）乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為乙個ab全程.從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個ab全程，因此，追及時間也變為200分鐘（=100×2），所以，在甲從a到b的800分鐘內，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.
解： （略）.
習題七 1.解放軍某部先遣隊，從營地出發，以每小時6千公尺的速度向某地前進，6小時後，部隊有急事，派通訊員騎電單車以每小時78千公尺的速度前去聯絡，問多少時間後，通訊員能趕上先遣隊？
2.小明以每分鐘50公尺的速度從學校步行回家，12分鐘後小強從學校出發騎自行車去追小明，結果在距學校1000公尺處追上小明，求小強騎自行車的速度.
3.甲、乙兩架飛機同時從乙個機場起飛，向同一方向飛行，甲機每小時行300千公尺，乙機每小時行340千公尺，飛行4小時後它們相隔多少千公尺？這時候甲機提高速度用2小時追上乙機，甲機每小時要飛行多少千公尺？
4.兩人騎自行車從同一地點出發沿著長900千公尺環形路行駛，如果他們反向而行，那麼經過2分鐘就相遇，如果同向而行，那麼每經過18分鐘快者就追上慢者，求兩人騎車的速度？
5.一條環形跑道長400公尺，甲騎自行車每分鐘騎450公尺，乙跑步每分鐘250公尺，兩人同時從同地同向出發，經過多少分鐘兩人相遇？
6.上午8點零8分，小明騎自行車從家裡出發，8分鐘後，爸爸騎電單車去追他，在離家4千公尺的地方追上了他.然後爸爸立刻回家，到家後又立刻回頭去追小明、再追上他的時候，離家恰好是8千公尺，問這時是幾點幾分？
習題七解答
1.（6×6）÷（78-6）=0.5（小時）.
2.①小強需幾分鐘追上小明：
（1000-12×50）÷50=8（分鐘）
②小強每分鐘騎車行多少公尺：
1000÷8=125（公尺/分）.
3.①4小時後相差多少千公尺？
（340-300）×4=160（千公尺）
②甲機提高速度後每小時飛行多少千公尺？
160÷2+340=420（千公尺）.
4.900÷2=450（公尺/分） 900÷18=50（公尺/分）
快車速度：（450+50）÷2=250（公尺/分）
慢車速度：（450-50）÷2=200（公尺/分）.
5.400÷（450-250）=2（分鐘）.
6.從爸爸第一次追上小明到第二次追上這一段時間內，小明走的路程是8-4=4（千公尺），而爸爸行了4+8=12（千公尺），因此，電單車與自行車的速度比是12∶4=3∶1.小明全程騎車行8千公尺，爸爸來回總共行4+12=16（千公尺），還因晚出發而少用8分鐘，從上面算出的速度比得知，小明騎車行8千公尺，爸爸如同時出發應該騎24千公尺.
現在少用8分鐘，少騎24-16=8（千公尺），因此推算出電單車的速度是每分鐘1千公尺.爸爸總共騎了16千公尺，需16分鐘，8+16=24（分鐘），這時是8點32分.
第七講面試
預習題1 某企業需要招聘一位市場營銷經理，下面是某求職者簡歷的部分內容 1998年至1999年 a企業銷售部營銷助理，連續兩次獲得該企業銷售冠軍 2000年至2002年 a企業銷售部營銷主管，產品銷售額連續3年增長10 2003年至今 b企業市場總監，成功策劃了2次全國性的大型產品展銷活動。依據這些...
第七講證明
第七講證明 三 矩形與菱形 一 知識要點 1 矩形 菱形的定義 性質和判定方法 2 矩形 菱形的面積公式 表示矩形的長與寬 表示菱形的對角線長 3 理解矩形 菱形與平行四邊形的關係 1 它們都是平行四邊形，都有平行四邊形的共同性質。2 矩形的4個角都是直角 菱形的四條邊都相等。由此又有它們各自的特性...
第6講 行程問題之追及問題
知識要點 追及指速度快的追速度慢的，追及問題中的路程，時間速度這三要素主要體現在路程差 或追及時間 速度差 追及時間上，三者之間的關係如下 速度差 追擊時間 路程差路程差 追及時間 速度差路程差 速度差 追及時間 切記追擊問題中追擊者速度一定要大於被追者速度，否則不能追上，反而兩人間距會越來越遠。例...