幾何中的計數問題包括：數線段、數角、數長方形、數正方形、數三角形、數綜合圖形等.通過這一講的學習，可以幫助我們養成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習慣，逐步學會通過觀察、思考探尋事物規律的能力.
一、數線段
我們把直線上兩點間的部分稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最基本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯絡，對於了解圖形、分析圖形是很重要的.
例1 數一數下列圖形中各有多少條線段.
分析要想使數出的每乙個圖形中線段的總條數，不重複、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規律去觀察、去數.這樣才不至於雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規律去數.
第一種：按照線段的端點順序去數，如上圖（1）中，線段最左邊的端點是a，即以a為左端點的線段有ab、ac兩條以b為左端點的線段有bc一條，所以上圖（1）中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以a為左端點的線段有ab、ac、ad三條，以b為左端點的線段有bc、bd兩條，以c為左端點的線段有cd一條.
所以上頁圖（2）中共有線段為3＋2＋1＝6條.
第二種：按照基本線段多少的順序去數.所謂基本線段是指一條大線段中若有n個分點，則這條大線段就被這n個分點分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為基本線段.
如上頁圖（2）中，線段ad上有兩個分點b、c，這時分點b、c把ad分成ab、bc、cd三條基本線段，那麼線段ad總共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是包含有二條基本線段的是：ac、bd二條，然後是包含有三條基本線段的是ad這樣一條.
所以線段ad上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖（3）中線段ae上有三個分點b、c、d，這樣分點b、c、d把線段ae分為ab、bc、cd、de四條基本線段，那麼線段ae上總共有多少條線段？按照基本線段多少的順序是：首先有4條基本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，然後是包含有三條基本線段的有2條，最後是包含有4條基本線段的有一條，所以線段ae上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.
解：①2＋1＝3（條）.
② 3＋2＋1＝6（條）.
③ 4＋3＋2＋1＝10（條）.
小結：上述三例說明：要想不重複、不遺漏地數出所有線段，必須按照一定順序有規律的去數，這個規律就是：
線段的總條數等於從1開始的連續幾個自然數的和，這個連續自然數的和的最大的加數是線段分點數加1或者是線段所有點數（包括線段的兩個端點）減1.也就是基本線段的條數.例如右圖中線段af上所有點數（包括兩個端點a、f）共有6個，所以從1開始的連續自然數的和中最大的加數是6—1＝5，或者線段af上的分點有4個（b、c、d、e）.
所以從1開始的連續自然數的和中最大的加數是4＋1＝5.也就是線段af上基本線段（ab、bc、cd、de、ef）的條數是5.所以線段af上總共有線段的條數是5＋4＋3＋2＋1＝15（條）.
二、數角
例2 數出右圖中總共有多少個角.
分析在∠aob內有三條角分線oc1、oc2、oc3，∠aob被這三條角分線分成4個基本角，那麼∠aob內總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次是包含有2個基本角組成的角有3個（即∠aoc2、∠c1oc3、∠c2ob），然後是包含有3個基本角組成的角有2個（即∠aoc3、∠c1ob），最後是包含有4個基本角組成的角有1個（即∠aob），所以∠aob內總共有角：
4＋3＋2＋1＝10（個）.
解：4＋3＋2＋1＝10（個）.
小結：數角的方法可以採用例1數線段的方法來數，就是角的總數等於從1開始的幾個連續自然數的和，這個和裡面的最大的加數是角分線的條數加1，也就是基本角的個數.
例3 數一數右圖中總共有多少個角？
解：因為∠aob內角分線oc1、oc2…oc9共有9條，即9+1=10個基本角.
所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（個）.
三、數三角形
例4 如右圖中，各個圖形內各有多少個三角形？
分析可以採用類似
例1數線段的兩種方法來數，如圖（2）：
第一種方法：先數以ab為一條邊的三角形共有：
△abd、△abe、△abf、△abc四個三角形.
再數以ad為一條邊的三角形共有：
△ade、△adf、△adc三個三角形.
以ae為一條邊的三角形共有：
△aef、△aec二個三角形.
最後以af為一條邊的三角形共有△afc乙個三角形.
所以三角形的個數總共有4+3+2+1=10.
第二種方法：先數圖中小三角形共有：
△abd、△ade、△aef、△afc四個三角形.
再數由兩個小三角形組合在一起的三角形共有：
△abe、△adf、△aec三個三角形，
以三個小三角形組合在一起的三角形共有：
△abf、△adc二個三角形，
最後數以四個小三角形組合在一起的只有△abc乙個.
所以圖中三角形的個數總共有：4+3+2+1=10（個）.
解：①3+2+1=6（個）
② 4+3+2+1=10（個）.
答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個和10個.
小結：計算三角形的總數也等於從1開始的幾個連續自然數的和，其中最大的加數就是三角形一邊上的分點數加1，也就是三角形這邊上分成的基本線段的條數.
例5 如右圖中，數一數共有多少條線段？共有多少個三角形？
分析在數的過程中應充分利用上幾例總結的規律，明確數什麼？
怎麼數？這樣兩個問題.數：就是要數出圖中基本線段（基本三角形）的條數，算：就是以基本線段（基本三角形）條數為最大加數的從1開始的連續幾個自然數的和.
①要數多少條線段：先看線段ab、ad、ae、af、ac、上各有2個分點，各分成3條基本線段，再看bc、mn、gh這3條線段上各有3個分點，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.
②要數有多少個三角形，先看在△agh中，在gh上有3個分點，分成基本小三角形有4個.所以在△agh中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在△amn與△abc中，三角形有同樣的個數，所以在△abc中三角形個數總共：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.
解：①在△abc中共有線段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）
②在△abc中共有三角形是：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.
例6 如右圖中，共有多少個角？
分析本題雖然與上幾例有區別，但仍可以採用上幾例所總結的規律去解決.
∠1、∠2、∠3、∠4我們可視為4個基本角，由2個基本角組成的有：∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠4與∠1，共4個角.由3個基本角組成的角有：
∠1、∠2與∠3；∠2、∠3與∠4；∠3、∠4與∠1；∠4、∠1與∠2，共4個角，由4個基本角組成的角只有乙個.
所以圖中總共有角是：4×3+1=13（個）.
解：所以圖中共有角是：4×3+1=13（個）.
小結：由本題可以推出一般情況：若周角中含有n個基本角，那麼它上面角的總數是 n（n-1）+1.
習題七 1.數一數下圖中，各有多少條線段？
2.數一數下圖中各有多少角？
3.數一數下圖中，各有多少條線段？
4.數一數下圖中，各有多少條線段，各有多少個三角形？
習題七解答
1.①在ab線段上有4個分點，所以它上面線段的總條數為：5+4+3+2+1=15（條）.
②**段ab上有3個分點，所以它上面線段的總條數為：
4+3+2+1=10（條）.
**段cd上有4個分點：所以它上面線段的總條數為：
5+4+3+2+1=15（條）.
∴整個圖（2）共有線段10+15=25（條）.
③**段ab上有3個分點，它上面線段的條數為：
4+3+2+1=10（條）.
**段cd上有2個分點，它上面線段的條數為：
3+2+1=6（條）.
**段ef上有2個分點，它上面線段的條數為6條.
所以圖（3）上總共有線段10+6+6=22（條）.
2.①在∠aob內有4條角分線，所以共有角：
5+4+3+2+1=15（個）；
②在∠aob內有9條角分線，所以共有角：
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）；
③周角內含有6個基本角，所以共有角：
6×（6-1）+1=31（個）.
3.①（3+2+1）×7=42；
②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7
=21×4+10×7=84+70=154.
4.①有線段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5
=30+30=60（條）
有三角形：（4+3+2+1）×3=30（個）；
②有線段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）
=15+10+3=28（條）
有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5
=15×2+5=35（個）.
第八講幾何中的計數問題
我們在已經學會數線段 數角 數三角形的基礎上，通過本講學習數長方形，正方形及數綜合圖形來進一步提高觀察和思考問題的能力，學會在觀察 思考 分析中總結歸納出解決問題的規律和方法.一 數長方形 例1如下圖，數一數下列各圖中長方形的個數？分析圖 中長方形的個數與ab邊上所分成的線段的條數有關，每一條線段對...
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