由③④式得 ⑤
由①②⑤式得
⑥2. （06年，全國ⅰ卷 20）一位質量為m的運動員從下蹲狀態向上起跳，經δt時間，身體伸直並剛好離開地面，速度為v。在此過程中，
a.地面對他的衝量為mv+mgδt，地面對他做的功為mv2
b.地面對他的衝量為mv+mgδt，地面對他做的功為零
c.地面對他的衝量為mv，地面對他做的功為mv2
d.地面對他的衝量為mv－mgδt，地面對他做的功為零
答案 ：b
3.(15分)
（07年，全國ⅰ卷 23）甲乙兩運動員在訓練交接棒的過程中發現：甲經短距離加速後能保持9 mis的速度跑完全程：乙從起跑後到接棒前的運動是勻加速的，為了確定乙起跑的時機，需在接力區前適當的位置設定標記，在某次練習中，甲在接力區前s0-13.
5 m處作了標記，並以v-9 m/s的速度跑到此標記時向乙發出起跑口令，乙在接力區的前端聽到口令時起跑，並恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒，已知接力區的長度為l=20m.
求：(1)此次練習中乙在接棒前的加速度a.
(2)在完成交接棒時乙離接力區末端的距離.
解：(1)設經過時間t，甲追上乙，則根據題意有vt-vt/2=13.5
將v=9代入得到：t=3s,
再有 v=at
解得：a=3m/s2
(2)在追上乙的時候，乙走的距離為s,
則：s=at2/2
代入資料得到 s=13.5m
所以乙離接力區末端的距離為s=20-13.5=6.5m
三、典型例題
例1： （06年湖北黃岡理科綜合訓練題四 25題)
)如圖所示，a、b兩個矩形木塊用輕彈簧相接靜止在水平地
面上，彈簧的勁度係數為k，木塊a和木塊b的質量均為m．
(1)若用力將木塊a緩慢地豎直向上提起，木塊a向上提起多大高
度時，木塊b將離開水平地面．
(2)若彈簧的勁度係數k是未知的，將一物塊c從a的正上方某位
置處無初速釋放與a相碰後，立即粘在一起(不再分離)向下運動，
它們到達最低點後又向上運動．已知c的質量為m時，把它從距a
高h處釋放，則最終能使b剛好要離開地面．若c的質量為 ，要
使b始終不離開地面，則釋放時，c距a的高度h不能超過多少?
解析(1)開始時，木塊a處於平衡，則kx1=mg(彈簧壓縮) 木塊b剛好離開地面時，有kx2=mg(彈簧伸長)
故木塊a向上提起的高度為4分)
(2)物塊c的質量為m時，它自由下落h高度時的速度2分)
設c與a碰撞後的共同速度為v2,根據動量守恆定律，有mv1=2mv2 則 ② (2分)
以後a、c繼續壓縮彈簧，後又向上彈起，最終能使木塊b剛好離開地面．此過程中，a、
c上公升的高度為x1+x2= ，由於最初彈簧的壓縮量x1與最後的伸長量x2相等，所以，
彈性勢能相等，根據機械能守恆定律，有3分)
物塊c的質量為時，設在距a高h處自由下落後剛好能使木塊b離開地面，則c下
落h高度時的速度2分)
設c與a碰撞後的共同速度為v'2，則有解得
(2分)
a、c碰後上公升高度(x1+x2)時，木塊b剛好離開地面，此過程中，由機械能守恆定律有
3分)由以上各式消去(x1+x2)解得4分)
例2 如圖12-1所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過o點的水平軸自由轉動。現給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中、分別表示小球軌道的最低點和最高點，則杆對球的作用力可能是（ ）
a、處為拉力，為拉力
b、處為拉力，為推力
c、處為推力，為拉力
d、處為推力，為推力
解析因為圓周運動的物體，向心力指向圓心，小球在最低點時所需向心力沿杆由指向o，向心力是杆對小球的拉力與小球重力的合力，而重力方向向下，故杆必定給球向上的拉力，小球在最高點時若杆恰好對球沒有作用力，即小球的重力恰好對球沒有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，設此時小球速度為，則：
當小球在最高點的速度時，所需的向心力，杆對小球有向下的拉力；若小球的速度時，杆對小球有向上推力，故選a、b正確
評析本題關鍵是明確越過臨界狀態時，杆對球的作用力方向將發生變化。
例3 在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是的小球a和b，質量分別為和2，當兩球心間距離大於l（l比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球心間距離等於或小於l時，兩球間存在相互作用的恆定斥力f。設a球從遠離b球處以速度沿兩球連心線向原來靜止的b球運動，如圖12-2所示，欲使兩球不發生接觸，必須滿足什麼條件?
解析據題意，當a、b兩球球心間距離小於l時，兩球間存在相互作用的恆定斥力f。故a減速而b加速。當時，a、b間距離減小；當時，a、b間距離增大。
可見，當時，a、b相距最近。若此時a、b間距離，則a、b不發生接觸（圖12-3）。上述狀態即為所尋找的臨界狀態，時則為臨界條件。
兩球不接觸的條件是1）
l+sb-sa>2r2）
其中、為兩球間距離最小時，a、b球的速度；sa、sb為兩球間距離從l變至最小的過程中，a、b球通過的路程。
設為a球的初速度，由動量守恆定律得： （3）
由動能定律得4）
5）聯立解得：
評析本題的關鍵是正確找出兩球「不接觸」的臨界狀態，為且此時
例4 如圖12-4所示，一帶電質點，質量為，電量為，以平行於軸的速度從軸上的點射入圖中第一象限所示的區域。為了使該質點能從軸上的點以垂直於軸的速度射出，可在適當的地方加乙個垂直於平面、磁感應強度為b的勻強磁場。若此磁場僅分布在乙個圓形區域內，試求這圓形磁場區域的最小半徑。
重力忽略不計。
解析質點在磁場中作半徑為r的圓周運動，
，得1）
根據題意，質點在磁場區域中的軌道是半徑等於r的圓上的1/4圓弧，這段圓弧應與入射方向的速度、出射方向的速度相切。過點作平行於軸的直線，過點作平行於軸的直線，則與這兩直線均相距r的o＇為圓心、r為半徑的圓（圓中虛線圓）上的圓弧mn，m點和n點應在所求圓形磁場區域的邊界上。
在通過m、n兩點的不同的圓周中，最小的乙個是以mn連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區域的最小半徑為
（2）所求磁場區域如圖12-5中實線圓所示。
評析臨界值可能以極值形式出現，也可能是邊界值（即最大值和最小值）此題中最小值是利用幾何知識判斷而得到的。a、b兩點及ab圓弧分別是磁場的邊界點和磁場內的一段弧，是尋找最小圓形磁場區域的依據。
題4 圓筒形的薄壁玻璃容器中，盛滿某種液體，容器底部外面有光源s，試問液體折射率至少為多少時，才不能通過容器壁在筒外看到光源s（壁厚不計）。
解析要在容器外空間看不到光源s，即要求光源s進入液體後，射向容器壁光線的入射角（臨界角），如圖所示，由折射定律可知
1）由圖可知2）
在a點入射處，由折射定律有
所以3）
由（1）（3）兩式可知，
由（2）式可知：越小越好，臨界角c也是越小越好：由可知，越大，c越小；而由可知，當一定時，越大，小。
所以液體的折射率
評析本題臨界條件有兩個，當折射角為90°時的入射角為臨界角c和當入射角為90°時最大。一般幾何光學中習題涉及前乙個臨界條件的較多，涉及後乙個臨界條件的較少。而求出折射率的臨界值為，還要進一步利用（3）式進行討論的範圍。
該題的分析方法是從結果利用臨界值c，採取倒推的方法來求解。一般來講，凡是求範圍的物理問題都會涉及臨界條件。
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