歷屆山東高考導數試題
（10年山東文21）已知函式
（i）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ii）當時，討論的單調性.
解：當時，
，，又，
切線方程為，即。
（ⅱ）因為 ，
所以 ，
令①當時，，
所以，當時，，此時，函式單調遞減；
當時，，此時，函式單調遞增；
②當時，由，即，解得，
（ⅰ）當時，恆成立，此時，函式在單調遞減；
（ⅱ）當時，，
時，，此時，函式單調遞減；
時，，此時，函式單調遞增；
時，，此時，函式單調遞減；
（ⅲ）當時，由於，
時，，此時，函式單調遞減；
當時，，此時，函式單調遞增；
綜上所述：當a≤0 時，函式f(x)在（0,1）上單調遞減;
函式f(x)在 (1, +∞) 上單調遞增當a=1/2時,函式f(x)在(0, + ∞)上單調遞減當0函式 f(x)在（1,1/a -1）上單調遞增；
函式f(x)在（1/a -1,+ ∞）上單調遞減。
（2009山東文21）已知函式,其中
(1)當滿足什麼條件時,取得極值?
(2)已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值範圍.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得極值,方程必須有解,
所以△,即, 此時方程的根為
,,所以
當時,所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.
當時,所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.
綜上,當滿足時, 取得極值.
(2)要使在區間上單調遞增,需使在上恆成立.
即恆成立, 所以
設,-,令得或(捨去),
當時,,當時,單調增函式;
當時,單調減函式,
所以當時,取得最大,最大值為.
所以當時,,此時在區間恆成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以
綜上,當時, ; 當時,
(2008山東文21)設函式，已知和為的極值點．（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）討論的單調性；
（ⅲ）設，試比較與的大小．
解：（ⅰ）因為，
又和為的極值點，所以，
因此解方程組得，．
（ⅱ）因為，，所以，
令，解得，，．
因為當時，；
當時，．
所以在和上是單調遞增的；在和上是單調遞減的．（ⅲ）由（ⅰ）可知，故，
令，則．令，得，
因為時，，所以在上單調遞減．故時，；
因為時，，所以在上單調遞增．故時，．
所以對任意，恒有，又，
因此，故對任意，恒有．
(2007山東文22)設函式，其中．
證明：當時，函式沒有極值點；當時，函式有且只有乙個極值點，並求出極值．
證明：因為，所以的定義域為．
．當時，如果在上單調遞增；
如果在上單調遞減．
所以當，函式沒有極值點．
當時，令， 將（捨去），，
當時，隨的變化情況如下表：
從上表可看出，函式有且只有乙個極小值點，極小值為．當時，隨的變化情況如下表：
從上表可看出，函式有且只有乙個極大值點，極大值為．綜上所述，當時，函式沒有極值點；
當時，若時，函式有且只有乙個極小值點，極小值為．若時，函式有且只有乙個極大值點，極大值為．
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