高中數學第三章數列
考試內容：
數學探索版權所有數列．
數學探索版權所有等差數列及其通項公式．等差數列前n項和公式．
數學探索版權所有等比數列及其通項公式．等比數列前n項和公式．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項．
數學探索版權所有理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能解決簡單的實際問題．
數學探索版權所有理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題．
數列知識要點
1.等差、等比數列：
看數列是不是等差數列有以下三種方法：
2 ()
(為常數).
看數列是不是等比數列有以下四種方法：
(，)注：.，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.
ii.（ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii.→為a、b、c等比數列的必要不充分.
.且→為a、b、c等比數列的充要.
注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.
(為非零常數).
正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
數列{}的前項和與通項的關係：
[注]： （可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.
等差{}前n項和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件.
非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）
2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍；
②若等差數列的項數為2，則；
若等差數列的項數為，則，且，
.3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：
生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年後總產量為：
銀行部門中按複利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按複利計算，則每月的元過個月後便成為元. 因此，第二年年初可存款：
=.分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
5. 數列常見的幾種形式：
（p、q為二階常數）用特證根方法求解.
具體步驟：①寫出特徵方程（對應，x對應），並設二根②若可設，若可設；③由初始值確定.
（p、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特徵根方法求；④（公式法），由確定.
①轉化等差，等比：.
②選代法：
.③用特徵方程求解： .
④由選代法推導結果：.
6. 幾種常見的數列的思想方法：
等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函式的性質求的值.
如果數列可以看作是乙個等差數列與乙個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：
兩個等差數列的相同項亦組成乙個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第乙個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3. 在等差數列｛｝中,有關sn 的最值問題：(1)當》0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
（三）、數列求和的常用方法
1. 公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用於其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
3.錯位相減法:適用於其中是等差數列，是各項不為0的等比數列。
4.倒序相加法: 類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）4）5）6）三、考點剖析
考點一：等差、等比數列的概念與性質
例1. （2008深圳模擬）已知數列
（1）求數列的通項公式； （2）求數列
解：（1）當；、
當，、 （2）令
當；當綜上，點評：本題考查了數列的前n項與數列的通項公式之間的關係，特別要注意n＝１時情況，在解題時經常會忘記。第二問要分情況討論，體現了分類討論的數學思想．
例２、（2008廣東雙合中學）已知等差數列的前n項和為，且，. 數列是等比數列，（其中）.
（i）求數列和的通項公式；（ii）記.
解：（i）公差為d，
則. 設等比數列的公比為，
.（ii）
作差：.
點評：本題考查了等差數列與等比數列的基本知識，第二問，求前n項和的解法，要抓住它的結特徵，乙個等差數列與乙個等比數列之積，乘以２後變成另外的乙個式子，體現了數學的轉化思想。
考點二：求數列的通項與求和
例3.（2008江蘇）將全體正整數排成乙個三角形數陣：
按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為
解：前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為．
點評：本小題考查歸納推理和等差數列求和公式，難點在於求出數列的通項，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。
例4.（2008深圳模擬）圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物「福娃迎迎」，按同樣的方式構造圖形，設第個圖形包含個「福娃迎迎」，則 ；＿＿＿＿
解：第1個圖個數：1
第2個圖個數：1+3+1
第3個圖個數：1+3+5+3+1
第4個圖個數：1+3+5+7+5+3+1
第5個圖個數：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，
所以，f（５）＝４１
f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６
點評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二問是乙個遞推關係式，有時候求數列的通項公式，可以轉化遞推公式來求解，體現了轉化與化歸的數學思想。
考點三：數列與不等式的聯絡
例5.（２００９屆高三湖南益陽）已知等比數列的首項為，公比滿足。又已知，，成等差數列。
（1）求數列的通項
（2）令，求證：對於任意，都有
（1）解
（2）證明：∵ ，
∴點評：把複雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（２）問，採用裂項相消法法，求出數列之和，由n的範圍證出不等式。
例６、(2008遼寧理) 在數列，中，a1=2，b1=4，且成等差數列，成等比數列（）
（ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，並證明你的結論；
（ⅱ）證明：．
解：（ⅰ）由條件得由此可得
．猜測．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，那麼當n=k+1時，
．所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立．
（ⅱ）．
n≥2時，由（ⅰ）知．
故綜上，原不等式成立．
點評：本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．
例７. （2008安徽理）設數列滿足為實數
（ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（ⅱ）設，證明：;
（ⅲ）設，證明：
解： (1) 必要性 ： ，
又，即充分性 ：設 ，對用數學歸納法證明
當時，.假設
則，且，由數學歸納法知對所有成立
(2) 設，當時，，結論成立
當時，由（1）知，所以且
(3) 設，當時，，結論成立
當時，由（2）知
點評：本題是數列、充要條件、數學歸納法的知識交匯題，屬於難題，複習時應引起注意，加強訓練。
點評：程式框圖與數列的聯絡是新課標背景下的新鮮事物，因為程式框圖中迴圈，與數列的各項一一對應，所以，這方面的內容是命題的新方向，應引起重視。
四、方法總結與2023年高考**
（一）方法總結
1. 求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察求通項；一是根據遞推關係式求通項。
2. 數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數列和可裂項的形式。
3. 數列是特殊的函式，而函式又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應是命題的乙個方向。
（二）2023年高考**
1. 數列中與的關係一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關係.關於遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：
「了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項」。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對「遞推公式」的考查。
數列知識要點複習
一 數列 1 數列 按排列的一列數叫做數列，數列中的每乙個數都叫做這個數列的 數列可以看作乙個定義域為自然數集的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值。它的影象是一群 2 通項公式 如果數列的第n項與n之間的可以用乙個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的通項公式，即。3 遞推公式 如果已...
數列的求和方法知識歸納 學習要點 例題解析
高三複習教案 數列的求和方法 知識歸納 學習要點 例題解析 一 知識歸納 1 拆項求和法 將乙個數列拆成若干個簡單數列 如等差數列 等比數列 常數數列等等 然後分別求和.2 併項求和法 將數列的相鄰的兩項 或若干項 並成一項 或一組 得到乙個新的且更容易求和的數列.3 裂項求和法 將數列的每一項拆 ...
數列知識小結
1.數列的有關概念 1 數列 按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數n 或它的有限子集上的函式。2 通項公式 數列的第n項an與n之間的函式關係用乙個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如 3 遞推公式 已知數列的第1項 或前幾項 且任一項an與他的前一項an 1 或前幾項...