陸騰宇（江蘇省常熟市昆承中學，215500）
許多數學問題所涉及的物件具有對稱性，軸對稱是常見的形式之一．我們利用軸對稱的性質，在探求幾何最值、解決生活實際問題等方面有著奇妙的作用．
1 利用軸對稱計算角的度數
例1 如圖，在中，，為形內一點，使得,．求的度數．
（2005，北京市中學生數學競賽（初二））
解由，得，．
作於d，延長cm交bd於點o，鏈結oa．
易知bd是的對稱軸．
所以，，
．所以．
又,所以．
又，所以≌．
故．由於，從而．
因此，．
例2 如圖，在中，，是bc邊上的一點，，．試求的度數．
解作關於ad的軸對稱圖形，
則，，所以．
易知．故，
．鏈結ce，因為，所以≌≌．
設o為ae與dc的交點，則．因為，於是．
又，則．
所以，．
2 利用軸對稱求線段的長度、證明線段相等
例3 如圖，在矩形abcd中，已知對角線長為2，且，則四邊形efgh的周長為（ ）
a． b．4 c． d．6
（2010，四川省初中數學聯賽（初二））
解如圖，根據軸對稱的性質，的斜邊是四邊形efgh的周長．
而直角邊分別是矩形邊長的兩倍，又矩形
對角線與矩形兩邊構成直角三角形，因此四邊
形efgh的周長是矩形對角線長的2倍．
例4 如圖，在的邊ab、ac上
分別取點q、p，使得．
求證：．
證明：因為．則．
作點p關於bc的對稱點，鏈結、．
於是，．
所以b、、c、q四點共圓．
於是，則．
故（夾在平行弦間）．
因此，．
3 利用軸對稱求圖形的面積
例4 如圖，在中，，i是、的平分線ad與be的交點．已知的面積為12．則四邊形abde的面積等於
（2004，北京市中學生數學競賽（初二））
解分別作點e、d關於ad、be的對稱點f、g，
則點f、g在ab上，鏈結if、ig．
易知．由軸對稱的性質知，，，
．所以．
作於h，於k．易證≌．所以．
故，即．
因此．例5 在四邊形abcd中，，，，，．求四邊形abcd的面積．
解如圖，有，，
，，於是有．
故，在rt中，．
在中，．所以．
因此，．
4 利用軸對稱探求幾何最值
例6 如圖，，p為角內一點，，兩邊上各有點q、r（均不同於o），則的周長的最小值為
2023年第12屆「五羊杯」邀請賽試題）
解分別作p關於oa、ob的對稱點m、n，
鏈結mn交oa、ob於q、r，則△pqr即為符合
條件的三角形．
如圖，由軸對稱的性質知，
而，所以△abc的周長．
例7 河岸同側的兩個居民小區a、b到河岸的距離分別為m、m（即圖1中所示m， m），m．現欲在河岸邊建乙個長度為s m的綠化帶cd（寬度不計），使c到小區a的距離與d到小區b的距離之和最小．
（1）在圖2中畫出綠化帶的位置，並寫出畫圖過程；
（2）求的最小值
（2006，第20屆江蘇省初中數學競賽）
解 （1）如圖3，作線段，使，且點p在點a的右側．取點p關於的對稱點，鏈結交於點d，在上點d的左側擷取，則cd即為所求的綠化帶的位置．
證明如圖3，設綠化帶建於另一位置．
鏈結、、、．則由對稱性
知，，．
由cd及ap，知，．
但，即．就是．
（當且僅當**段與的交點時等號成立）
所以，這樣畫出的最小．
（2）的最小值即為線段的長度．
延長，作於h，，則bh，．
所以．即的最小值為．
練習題1．（1）已知a、b兩點在直線mn的同側，在mn上求一點p，使pa與pb的和最小；
（2）若a、b兩點在直線mn的兩側，在mn上求一點，使、中較長一條與較短一條的差最大．
提示：作法（1）如圖1，作點a關於mn的對稱點，鏈結，交mn於點p，則點p即為所求。
（2）如圖2，作點b關於mn的對稱點，鏈結並延長，交mn於點，則即為所求．
2．如圖，矩形中， cm， cm ，若在、上各取一點m、n，使的值最小，求這個最小值．
（1998，北京市初中數學競賽）
解：如圖，作點b關於直線ac的對稱點，交ac於e，過作於n交ac 於點m，則m、n即為所求的點
由，得．
所以．易證∽．所以．
於是故的最小值為16cm．
3．在中，，，o為形內一點，，．求的度數．
提示： 作於h，因為，所以平分，
即．延長交ah於p，則．
鏈結，由對稱性知，．
所以．因此，．
在和中，，，．
所以≌．故．因為，
所以．4．在中，，，d是邊bc上一點，．
求證：．
（2008，我愛數學初中夏令營數學競賽）
提示：如圖，延長bc到e，使．由題設知，則，即是等腰三角形．過點a作於點m，則m為邊be的中點．取bd的中點f，則．鏈結af．
在rt中，
．5． 在矩形abcd中，，，e、f分別是ab、dc上的點．則折線afec長的最小值為
（2009，全國初中數學聯賽四川省初賽）
提示：如圖，分別作點a、c關於dc、ab的對稱點、．鏈結分別交ab、dc於點、，鏈結、．過作延長線的垂線，垂足為．
又，則由勾股定理知．故．
當點e、f分別與、重合時，取到最小值．
6．在直角座標系中，已知兩點a（，3）、b(，5)以及動點c(0，n)、
d(m，0)，則當四邊形abcd的周長最小時，比值為（ ）
a． b． c． d．
（2004，第19屆江蘇省初中數學競賽（初三））
提示：如圖，設點a關於軸的對稱點為，點b關於軸的對稱點為，則，．所以，當點c、d均在直線上時，四邊形abcd的周長最小，即為．設直線的方程為，因為、在直線
上，故有，解得．
即的方程為．從而知點，d(，0)，即，．
所以．故選c．
在中，，形內的點p滿足，．證明：ap是的三等分線．
（1994，中國香港數學奧林匹克）
解：如圖，以邊bc的中垂線為軸，作的軸對稱，鏈結ad、cd、pd．易知四邊形abcd為等腰梯形，則a、b、c、d四點共圓．
因為，所以．
在上述圓中，可得．於是，da=ab=dc=ap．
故是正三角形，且d是的外心．
此時，．故．
已知在中，，，點a關於bc的對稱
點是，點b關於ac的對稱點是，點c關於ab的對稱點
是．若的面積是1，則的面積是
鏈結，並延長交於點d，交ac於點e．由題設
，，ac∥，，
，，得．故．
軸對稱數學活動
第十一課時 授課題目 13 4數學活動 軸對稱變換的應用 教學目標 1.知識目標 1 經歷對圖形進行觀察 分析 欣賞和動手操作 畫圖過程，掌握有關畫圖的操作技能，發展初步審美能力，增強對圖形欣賞的意識。2 能按要求把所給出的圖形補成以某直線為軸的軸對稱圖形，能依據圖形的軸對稱關係設計軸對稱圖形。2 ...
生活中的軸對稱培優習題
選擇題1 觀察下列中國傳統工藝品的花紋，其中的軸對稱圖形是 ab cd 2 已知兩條互不平行的線段ab和a b 關於直線1對稱，ab和a b 所在的直線交於點p，下面四個結論 ab a b 點p在直線1上 若a a 是對應點，則直線1垂直平分線段aa 若b b 是對應點，則pb pb 其中正確的是 ...
生活中的軸對稱教學設計
15.1生活中的軸對稱 1 教學目標 1.知識與技能 通過豐富的生活例項認識軸對稱，能夠識別簡單的軸對稱 形及其對稱軸。2.過程與方法 在豐富的現實情境中，經歷觀察生活中的軸對稱現象，探索軸對稱現象的共同特徵，進一步發展空間觀念。3.情感態度與價值觀 欣賞現實生活中的軸對稱圖形，體會軸對稱在現實生活...