學業分層測評(十一)
(建議用時：45分鐘)
[學業達標]
一、填空題
1．若正三稜錐的底面邊長為，側稜長為1，則此正三稜錐的體積為
【解析】 設此正三稜錐的高為h，則h2＋＝1，所以h2＝，h＝，故此三稜錐的體積v＝××()2×＝.
【答案】
2．乙個正四稜臺形油槽可以裝煤油190 l，假如它的上、下底邊長分別等於60 cm和40 cm，它的深度是________ cm.
【解析】 設深度為h，則v＝(402＋40×60＋602)，
即190 000＝×7 600，所以h＝75.
【答案】 75
3．如圖1－3－11，已知底面半徑為r的圓柱被乙個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那麼圓柱被截後剩下部分的體積是
【導學號：41292054】
圖1－3－11
【解析】 將該幾何體補上乙個同樣的幾何體，變為乙個高為a＋b的圓柱，則所求幾何體的體積為v＝＝×πr2·(a＋b)＝.
【答案】
4．現有橡皮泥製作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各乙個，若將它們重新製作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各乙個，則新的底面半徑為______．
【解析】 設新的底面半徑為r，由題意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.
【答案】
5．在梯形abcd中，∠abc＝，ad∥bc，bc＝2ad＝2ab＝2.將梯形abcd繞ad所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________．
【解析】 過點c作ce垂直ad所在直線於點e，梯形abcd繞ad所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段ab的長為底面圓半徑，線段bc為母線的圓柱挖去以線段ce的長為底面圓半徑，ed為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為v＝v圓柱－v圓錐＝π·ab2·bc－·π·ce2·de＝π×12×2－π×12×1＝.
【答案】
6．將一銅球放入底面半徑為16 cm的圓柱形玻璃容器中，水面公升高了9 cm，則這個銅球的半徑為cm.
【解析】 設銅球的半徑為r cm，則有πr3＝π×162×9，解得r＝12.
【答案】 12
7．如圖1－3－12，在直三稜柱abc－a1b1c1中，如果ab＝ac＝，bb1＝bc＝6，e，f為側稜aa1上的兩點，且ef＝3，那麼多面體bb1c1cef的體積為________．
圖1－3－12
【解析】 在△abc中，bc邊上的高h＝＝2，
v柱＝bc·h·bb1＝×6×2×6＝36，
∴ve－abc＋vf－a1b1c1＝v柱＝6，故vbb1c1cef＝36－6＝30.
【答案】 30
8．如圖1－3－13所示，在邊長為4的正方形紙片abcd中，ac與bd相交於o，剪去△aob，將剩餘部分沿oc，od摺疊，使oa，ob重合，則以a(b)，c，d，o為頂點的四面體的體積是
圖1－3－13
【解析】 顯然，摺疊後oa是該四面體的高，且oa為2，而△cod的面積為4，所以四面體的體積為.
【答案】
二、解答題
9．如圖1－3－14所示，a為直線y＝x上的一點，ab⊥x軸於點b，半圓的圓心o′在x軸的正半軸上，且半圓與ab，ao相切，已知△abo繞x軸旋轉一周形成的幾何體的體積為9π，求陰影部分旋轉成的幾何體的體積．
圖1－3－14
【解】 陰影部分繞x軸旋轉一周所得幾何體是圓錐挖去乙個內切球．其體積為v＝v圓錐－v球．
設a點座標為(x，y)，則
解得於是∠aob＝30°，從而oo′＝2r，
3r＝x＝3，r＝.
∴v＝9π－πr3＝9π－π()3＝5π.
10．如圖1－3－15，菱形abcd的對角線ac與bd交於點o，點e，f分別在ad，cd上，ae＝cf，ef交bd於點h.將△def沿ef折到△d′ef的位置．
圖1－3－15
(1)證明：ac⊥hd′；
(2)若ab＝5，ac＝6，ae＝，od′＝2，求五稜錐d′－abcfe的體積．
【解】 (1)證明：由已知得ac⊥bd，ad＝cd.
又由ae＝cf得＝，故ac∥ef.
由此得ef⊥hd，故ef⊥hd′，所以ac⊥hd′.
(2)由ef∥ac得＝＝.
由ab＝5，ac＝6得do＝bo＝＝4.所以oh＝1，d′h＝dh＝3.
於是od′2＋oh2＝(2)2＋12＝9＝d′h2，
故od′⊥oh.
由(1)知ac⊥hd′，又ac⊥bd，bd∩hd′＝h，
所以ac⊥平面bhd′，於是ac⊥od′.
又由od′⊥oh，ac∩oh＝o，所以od′⊥平面abc.
又由＝得ef＝.
五邊形abcfe的面積s＝×6×8－××3＝.
所以五稜錐d′－abcfe的體積v＝××2＝.
[能力提公升]
1．乙個六稜錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側稜長都相等，則該六稜錐的側面積為________．
【解析】 設正六稜錐的高為h，側面的斜高為h′.
由題意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，∴s側＝6××2×2＝12.
【答案】 12
2．若與球外切的圓台的上、下底面半徑分別為r，r，則球的表面積為________．
【解析】 法一：如圖，設球的半徑為r1，則在rt△cde中，de＝2r1，ce＝r－r，dc＝r＋r.由勾股定理得4r＝(r＋r)2－(r－r)2，解得r1＝.
故球的表面積為s球＝4πr＝4πrr.
法二：如圖，設球心為o，球的半徑為r1，鏈結oa，ob，則在rt△aob中，of是斜邊ab上的高．由相似三角形的性質得of2＝bf·af＝rr，即r＝rr，故r1＝，故球的表面積為s球＝4πrr.
【答案】 4πrr
3．如圖1－3－16，在直三稜柱abc－a1b1c1中，e是ab的中點，d是aa1的中點，則三稜錐d－b1c1e的體積與三稜柱abc－a1b1c1的體積之比是
【導學號：41292055】
圖1－3－16
【解析】 設c1到平面a1b的距離為h，由已知得，
s△db1e＝ab·a1a，所以v三稜錐d－b1c1e＝s△db1eh＝×·ab·a1a·h＝ab·a1a·h＝vabc－a1b1c1，即v三稜錐d－b1c1e∶vabc－a1b1c1＝1∶4.
【答案】 1∶4
4．如圖1－3－17，長方體abcd－a1b1c1d1中，ab＝16，bc＝10，aa1＝8，點e，f分別在a1b1，d1c1上，a1e＝d1f＝4.過點e，f的平面α與此長方體的面相交，交線圍成乙個正方形．
圖1－3－17
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．
【解】 (1)交線圍成的正方形ehgf如圖所示．
(2)如圖，作em⊥ab，垂足為m，則am＝a1e＝4，eb1＝12，em＝aa1＝8.
因為四邊形ehgf為正方形，所以eh＝ef＝bc＝10.
於是mh＝＝6，ah＝10，hb＝6.
故s四邊形a1eha＝×(4＋10)×8＝56，
s四邊形eb1bh＝×(12＋6)×8＝72.
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直稜柱，
所以其體積的比值為.
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