《光學教程》習題解（參考）
第三章幾何光學
3.1證明反射定律符合費馬原理。
證明：費馬原理是光沿著光程為最小值、最大值或恆定值的路徑傳播。
或恆值，在介質與的介面上，入射光遵守反射定律，經點到達點，如果能證明從點到點的所有光程中是最小光程，則說明反射定律符合費馬原理。
設點為介質分界面上除點外的其他任意一點，連線並說明光程光程
由於與在同種介質裡，所以比較兩個光程的大小，實際上就是比較兩個路程與的大小。
從點到分介面的垂線，垂足為，並延長至，使連線，根據幾何關係知，再結合，又可證明，說明三點在一直線上，與和組成，其中。
又即符合反射定律的光程是從點到點的所有光程中的極小值，說明反射定律符合費馬原理。
3.2 根據費馬原理可以匯出在近軸光線條件下，從物點發出並會聚到像點的所有光線的光程都相等。由此匯出薄透鏡的物象公式。
證明：由得：
同理，得
由費馬定理：
結合以上各式得：
得證。3.3 眼睛e和物體pq之間有一塊折射率為1.5的玻璃平板(見題3.3圖),平板的厚度d為30cm.求物pq的像與物體pq之間的距離為多少?
解：由題意知光線經兩次折射後發生的軸向位移為：
，即像與物的距離為。
3.4 玻璃稜鏡的折射稜角a為60度，對某一波長的光其折射率為1.6。計算(1)最小偏向角；(2)此時的入射角；(3)能使光線從a角兩側透過稜鏡的最小入射角。
解：由最小偏向角定義得，得
由幾何關係知，此時的入射角為：
當在處正好發生全反射時，
3.5 圖示一種恆偏向稜角鏡，它相當於乙個稜鏡與乙個稜鏡按圖示方式組合在一起。白光沿i方向入射，我們旋轉這個稜鏡來改變，從而使任意一種波長的光可以依次循著圖示的路徑傳播，出射光線為r。
求證：如果則，且光束i與 r垂直(這就是恆偏向稜鏡名字的由來)。
解： 若，則
則，而，而
，得證。
3.6 高5cm的物體距凹面鏡的焦距頂點12cm，凹面鏡的焦距是10cm，求像的位置及高度，並作光路圖。
解：。又
，即，即像在鏡前處，像高為。
3.7 乙個5cm高的物體放在球面鏡前10cm處成1cm高的虛像．求(1)此像的曲率半徑；(2)此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？
解：由題知物體在球面鏡前成虛像，則其反射延長線的交點
，又，，所以此鏡為凸面鏡。
3.8 某觀察者通過一塊薄玻璃板去看凸面鏡中他自己的像。他移動著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面鏡的焦距為10cm，眼睛距凸面鏡頂點的距離靈40cm，問玻璃板觀察者眼睛的距離為多少？
解：根據題意，由凸面鏡成像公式得：
凸面鏡物點與像點的距離，則玻璃距觀察者的距離為。
3.9 物體位於凹面鏡軸線上焦點之外，在焦點與凹面鏡之間放乙個與軸線垂直的兩表面互相平行的玻璃板，其厚度為d，折射率為n。試證明：
放入該玻璃板後使像移動的距離與把凹面鏡向物體移動d(n-1)/n的一段距離的效果相同。
證明：將玻璃板置於凹面鏡與焦點之間，玻璃折射成像，由上題結果得
，即題中所求。
3.10 欲使由無窮遠發出的近軸光線通過透明球體並成像在右半球面的頂點處，問這透明球體的折射率為多少？
解：設球面半徑為，物距和像距分別為和，
由物像公式：，得。
3.11 有一折射率為1.5，半徑為4cm的玻璃球，物體在距球表面6cm處，求(1)物所在的像到球心之間的距離；(2)像的橫向放大率。
解：的玻璃球
對第乙個球面，
對第二個球面
3.12 乙個折射率為1.53，直徑為20cm的玻璃球內有兩個小氣泡。看上去乙個恰好在球心，另乙個從最近的方向看去，好像在表面與球心連線的中點。求兩氣泡的實際位置。
解：（1）看去恰好在球心的氣泡
n1=1.53、 n1＇=1、 r1=-10cm、s1＇=-10cm
由： 解得象對應的物距：s1 =-10cm，說明氣泡在球心處。 圖a
（2）好象在表面與球心連線中點的氣泡
n2=1.53、 n2＇=1、 r2=-10cm、s2=-5cm
再由：解得象距：s2 =- 6.047cm
氣泡到球心的距離:d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm 圖b
3.13 直徑為1m的球形魚缸的中心處有一條小魚，若玻璃缸壁的影響可忽略不計，求缸外觀察者所看到的小魚的表觀位置和橫向放大率。
解：由，又，即魚在原處。
3．14 玻璃棒一端成半球形，其曲率半徑為2cm。將它水平地浸入折射率為1.33的水中，沿著棒的軸線離球面頂點8cm處的水中有一物體，利用計算和作圖法求像的位置及橫向放大率，並作光路圖。
解： 3.15有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面，其曲率半徑為10cm。
一物點在主軸上距離20cm處，若物和鏡均浸在水中，分別用作圖法和計算法求像點的位置。設玻璃的折射率為1.5，水的折射率為1.
33。解：(1)對於凸透鏡：由薄透鏡焦距公式得：
由透鏡成像公式：，得
(2)對於凹透鏡：由薄透鏡焦距公式得：
由透鏡成像公式：，得
（3）作圖：
3.16 一凸透鏡在空氣中的焦距為40cm，在水中時焦距為136.8cm，問此透鏡的折射率為多少(水的折射率為1.
33)？若將此透鏡置於cs2中(cs2的折射率為1.62)，其焦距又為多少？
解：由題意知凸透鏡的焦距為：
又在同一介質中，設
因為對同一透鏡而言是一常數。
設，當在空氣中時，
在水中時
兩式相比，可得
將其代入上式得在中即時，
得，即透鏡的折射率為，在中得焦距為。
3.17 兩片極薄的表玻璃，曲率半徑分別為20cm和25cm。將兩片的邊緣粘起來，形成內含空氣的雙凸透鏡，把它置於水中，求其焦距為多少？
解：由薄透鏡焦距公式：
其中，得。
3.18 會聚透鏡和發散透鏡的焦距都是10cm，求(1)與主軸成30度的一束平行光入射到每個透鏡上，像點在何處？(2)在每個透鏡左方的焦平面上離主軸1cm 處各置一發光點，成像在何處？
作出光路圖。
解：(1)由，對於會聚透鏡：
或者 像點座標為。
同理，對於發散透鏡，像點座標為。
(2)由，對於會聚透鏡：，即經透鏡後為以平行光束。對於發散透鏡：，又
考慮到物點的另一種放置，，像點的座標為。
3.19 如圖（1）、（2）所示，mm＇分別為一薄透鏡的主光軸，s為發光點，s為象，用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點的位置。
3.20 比累對切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向剖開成兩半組成,兩半塊透鏡垂直光軸拉開一點距離，用擋光的光闌k擋住其間的空隙(見題3.20圖)，這時可在屏上觀察到干涉條紋。
已知點光源p與透鏡相距300cm，透鏡的焦距f』=50cm，兩半透鏡拉開的距離t=1mm，光屏與透鏡相距l=450cm。用波長為632.8nm的氦氖雷射作為光源，求干涉條紋的間距。
解：分成兩半透鏡，對稱軸仍是構成兩相干光源，相距為，，上半透鏡相當於的主軸與光心上移，下半透鏡相當於的主軸和光心下移。
，。3.21 把焦距為10cm的會聚透鏡的**部分c切去，c的寬度為1cm，把餘下的兩部分粘起來(題3.21圖)。如在其對稱軸上距透鏡5cm處置一點光源，試求像的位置。
解：該透鏡是由兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，部分的主軸在系統中心線下方處，部分的主軸系統中心線上方處，由透鏡成像公式：，經成像得，經成像得，這兩個像點在垂直於主軸的方向上的距離為。
3.22 一折射率為1.5的薄透鏡，其凸面的曲率半徑為5cm，凹面的曲率半徑為15cm，且鍍上銀(見題3.
22圖)。試證明：當光從凸表面入射時，該透鏡的作用相當於乙個平面鏡。
(提示：物經過凸面折射，凸面反射和凹面再次折射後，s』=-s，b=1)。
解：經第一介面折射成像：
其中，經第二介面(塗銀面)反射成像：
其中，再經第一介面折射成像：
三次成像後的放大率：
所以當光從凸表面入射時，該透鏡的作用相當於乙個平面鏡。
3.23 題3.23圖所示的是乙個等邊直角稜鏡和兩個透鏡所組成的光學系統。
稜鏡折射率為1.5，凸透鏡的焦距為20cm，凹透鏡的焦距離為10cm，兩透鏡間距為5cm，凸透鏡距稜鏡邊的距離為10cm。求圖中長度為1 cm的物體所成像的位置和大小。
(提示:物經稜鏡成像在透鏡軸上，相當於經過一塊厚6cm的平板玻璃，可利用例3.1的結果求稜鏡所成像的位置)。
解：因為，其全反射角為。所以，物體經球面上反射，厚度為的透鏡，物體將在厚透鏡左側成虛像，平行平板的軸向位移凸透鏡的物距為。所以由物像公式知成像的位置及大小為和。
3.24 顯微鏡由焦距為1cm的物鏡和焦距為3cm的目鏡組成，物鏡與物鏡之間的距離為20cm，問物體放在何處時才能使最後的像成在距離眼睛25cm處？
解：在目鏡下由物像公式得即
在物鏡下由高斯公式得即
即物體在物鏡下放處。
3.25 題3.25圖中l為薄透鏡，水平橫線mm『為主軸。abc為已知的一條穿過這個透鏡的路徑，用作圖法求出任一條光線de穿過透鏡後的路徑。
3.26 題3.26圖中mm『是一厚透鏡的主軸,h、h』是透鏡的主平面，s1是點光源，s1『是點光源的像。試用作圖法求任一物點s2的像s2』的位置.
3.27 雙凸透鏡的折射率為1.5，│r1│=10cm，│r2 │=15cm，r2 的一面鍍銀，物點p在透鏡的前主軸上20cm處，求最後像的位置並作出光路圖。
解：經第一介面折射成像：
所以，即折射光為平行光束。
經第二介面反射成像：
所以再經第一介面折射成像：
所以，即最後成像於第一介面左方處。
3.28 實物與光屏間的距離為l，在中間某一位置放一凸透鏡，可使實物的像清晰地投於屏上，將移過距離d之後，屏上又出現乙個清晰地像。(1)試計算兩個像的大小；(2)證明透鏡的焦距(l2 –d2 /4l ) ；(3)l不能小於透鏡焦距的4倍。
解：(1)令，則
第一次成像：
(1)第二次成像：
2)由(1)(2)得3)
則 (4)
，又故兩次成像大小之比5)
將(2)(3)代入(4)得6)
由(3)(6)得7)
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