離散數學課後答案
第2章習題解答
2.1 本題沒有給出個體域,因而使用全總個體域.
(1) 令是鳥
會飛翔.
命題符號化為
.(2)令為人.
愛吃糖命題符號化為
或者(3)令為人.
愛看**.
命題符號化為
.(4)為人.
愛看電視.
命題符號化為
.分析 1°如果沒指出要求什麼樣的個體域，就使用全總個休域，使用全總個體域時，往往要使用特性謂詞。（1）-（4）中的都是特性謂詞。
2° 初學者經常犯的錯誤是，將類似於（1）中的命題符號化為
即用合取聯結詞取代蘊含聯結詞，這是萬萬不可的。將（1）中命題敘述得更透徹些，是說「對於宇宙間的一切事物百言，如果它是鳥，則它會飛翔。」因而符號化應該使用聯結詞→而不能使用。
若使用，使（1）中命題變成了「宇宙間的一切事物都是鳥並且都會飛翔。」這顯然改變了原命題的意義。
3° （2）與（4）中兩種符號化公式是等值的，請讀者正確的使用量詞否定等值式，證明（2），（4）中兩公式各為等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符號化為
其中此命題在中均為真命題。
（2） 在中均符號化為
其中，此命題在（a）中為假命題，在(b)(c)中均為真命題。
（3）在中均符號化為
其中此命題在中均為假命題，在(c)中為真命題。
分析 1°命題的真值與個體域有關。
2° 有的命題在不同個體域中，符號化的形式不同，考慮命題
「人都呼吸」。
在個體域為人類集合時，應符號化為
這裡，呼吸，沒有引入特性謂詞。
在個體域為全總個體域時，應符號化為
這裡，為人，且為特性謂詞。呼吸。
2．3 因題目中未給出個體域，因而應採用全總個體域。
（1） 令：是大學生，是文科生，是理科生，命題符號化為
（2）令是人，是化，喜歡，命題符號化為
（3）令是人，犯錯誤，命題符號化為
或另一種等值的形式為
（4）令在北京工作，是北京人，命題符號化為
或（5）令是金屬，是液體，溶解在y中，命題符號化為
（6）令與y是對頂角，與y相等，命題符號化為
分析 （2），（5），（6）中要使用2無謂詞，用它們來描述事物之間的關係。
2.4 （1）對所有的x，存在著y，使得，在中為真命題，在中為假命題。
（2）存在著對所有的y，都有，在中為真命題，在中為假命題。
（3）對所有x，存在著y，使得，在中均為假命題，而在中為真命題。
（4）存在著x，對所有的y，都有，在中都是假命題。
（5）對所有的x，存在著y，使得在中都是真命題。
（6）存在x，對所有的y，都有，在中為真命題，在中為假命題。
（7）對於所有的x和y，存在著z，使得，在中為真命題，在中為假命題。
2.5 （1）取解釋為：個體域（實數集合），為有理數，能表示成分數，在下，的含義為
「對於敘何實數x而言，若x為有理數，則x能表示成分數」，簡言之為「有理數都能表示成分數。」在此蘊含式中，當前件為真時，後件也為真，不會出現前件為真，後件為假的情況，所以在下，為真命題。
在在下，的含義為
「對於任何實數x,x既為有理數，又能表示成分數。」
取，則顯然為假，所以，在下，為假命題.
(2) 取解釋為:個體域d=n(自然數集合),為奇數,為偶數,在下,的含義為
「存在自然數x,x發既為奇數，又為偶數。」
取，則為假，於是為真，這表明為真命題。
分析本題說明
這裡，表示a與b不等值，以後遇到，含義相同。
在一階邏輯中，將命題符號化時，當引入特性謂詞（如題中的之後，全稱量詞後往往使用聯結詞→而不使用，而存在量詞後往往使用，而不使用→，如果用錯了，會將真命題變成假命題，或者將假命題變成真命題。
2．6 在解釋r下各式分別化為
（1）（2）
（3）（4）
易知，在解釋r下，（1），（2）為假；，（3）（4）為真。
2．7 給定解釋為：個體域d=n（自然數集合），為奇數，為偶數。
（1）在解釋下，公式被解釋為
「如果所有的自然數不是奇數就是偶數，則所有自然數全為奇數，或所有自然數全為偶數。」因為蘊含式的前件為真，後件為假，所以真值為假。
（2）在下，公式解釋為
「如果存在著自然數為奇數，並且存在著自然為偶數，則存在著自然數既是奇數，又是偶數。」
由於蘊含式的前件為真，後件為假，後以真值為假。
分析本題說明全稱量詞對析取不滿足分配律，存在量詞對合取不滿足分配律。
2.8 令在a中，無自由出現的個體變項，所以a為閉式。
給定解釋：個體域d=n（整數集合），為正數，為負數，，在下，a的含義為
「對於任意的整數x和y，如果x為正整數，y為負整數，則。」
這是真命題。
設解釋：個體域d=r（r整數集合），為有理數，為無理數，，在下，a的含義為
「對於任意的實數x和y，如果x為有理數，y為元理數，則。」
這是假命題。
分析閉式在任何解釋下不是真就是假，不可能給出解釋i, 使得閉式在i下真值不確定，這一點是閉式的乙個重要特徵。而非封閉的公式就沒有這個特徵。
2.9 取和，則和都是非土產的公式，在中，x, y都是自由出現的，在中，y是自出現的。
取解釋i為，個體域d=n（n為自然數集合），為。在i下，為為假，所以在i下，真值不確定，即在i下的真值也是命題。
在i下，為當時，它為真；時為假，在i下的真值也不確定。
分析非閉式與閉式的顯著區別是，前者可能在某些解釋下，真值不確定，而後者對於任何解釋真值都確定，即不是真就是假。
當然非閉式也可以是邏輯有效式（如），也可能為矛盾式（如，也可能不存在其值不確定的解釋。
2．10 （1）
（消去量詞等值式）
（德·摩根律）
消去量詞等值式）
（2） （消去量詞等值式）
（德·摩根律）
消去量詞等值式）
2．11 （1） 令為人。
長著綠色頭髮。
本命題直接符號化驗為
]而量詞否定等值式）
（德·摩根律）
（蘊含等值式）
最後一步得到的公式滿足要求（使用全稱量詞），將它翻譯成自然語言，即為
「所有的人都不長綠色頭髮」。
可見得「沒有人長著綠色頭髮。」與「所有人都不長綠色頭髮。」是同一命題的兩種不同的敘述方法。
（2）令是北京人
去過香山。
命題直接符號化為
]而雙重否定律）
（理詞否定等值式）
（德·摩根律）
（蘊含等值式）
最後得到的公式滿足要求（只含全稱量詞），將它翻譯成自然語言，即為
「並不是北京人都去過香山。」
可見，「有的北京人沒過過香山。」與「並不是北京人都去過香山。」是同一命題不同的敘述方法。
2.12 （1）
（2）（量詞轄域收縮擴張等值式）
（3）分析在有窮個體域內消去量詞時，應將量詞的轄域盡量縮小，例如，在（2）中，首先將量詞轄域縮小了（因為中不含x，所以，可以縮小）。否則，演算是相當麻煩的。見下面的演算：
顯然這個演算比原來的嚳算麻煩多了。
2.13 在i下
（1）所以，在下為假。
（2）所以，此公式在i下也是假命題。
（3） （量詞分配等值式）
所以，此公式在i下為真
2．14 （1）
（量詞否定等值式）
（約束變項換名規則）
（量詞轄域收縮擴張等值式）
（2）在以上演算中分別使用了德·摩根律、量詞否定等值式、約束變項換名規則等。
分析公式的前束正規化是不唯一的。（1）中最後兩步都是前束正規化，其實
也是（1）中公式的前束正規化。
2．15 （1）
（2）在以上演算中分別使用了自由變項換名規則和量詞轄域收縮擴張等值式。
2.16 （1）②錯。使用ui，ug，ei，eg規則應對前束正規化，而①中公式下不是前束正規化，所以，不能使用ui規則。
（2）。①中公式為，這時，，因而使用ui規則時，應得（或），故應有而不可能為
（3）②錯。應對使用eg規則，其中c為特定的使a為真的個體常項，而不能為個體變項。
（4）②錯。①中公式含個體變項x，不能使用eg規則。
（5）②錯。①公式含兩個個體常項，不能使用eg規則。
（6）⑤錯。對①使用ei規則得，此c應使為真，此c不一定使為真。
分析由於⑤的錯誤，可能由真前提，推出假結論。反例如下：
設個體域為自然數集合為偶數，為素數，能被3整除，能被4整數，顯然此時，
與均為真，但為假。其實在（6）中，③應為，它是真命題，而為假命題。對使用ei規則，得才為真。所以，對兩個公式使用ei規則使用同乙個個體常項是會犯錯誤的。
2.17
（1）證明
① 前提引入
前提引入
假言推理
ei附加
ui假言推理
eg（2）證明：
前提引入
ei前提引入
ui假言推理
化簡合取
eg2．18 令是大熊獵。
產在中國。
歡歡前提：
結論：證明：前提引入
前提引入
ui假言推理
2．19令為有理數。
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