三角形全等易錯題析

三角形全等易錯題分析與糾錯策略**

長嶺中學孫運華

摘要：作為一名初中數學教師，我時常發現有些做過多次的題，學生會一錯再錯。通過了解，我發現這不是個別現象，要想糾正這些易錯題，必須分清原因，並採取相應的糾正措施。

關鍵詞：初中數學；易錯題；糾錯策略；

很多數學教師都發現，一些做過多次的題，學生會一錯再錯。這類題目我們暫且叫它易錯題。易錯題產生的原因各不相同。

要想糾正這些易錯題，必須分清原因，並採取相應的糾正措施。下面我將結合自身的初步探索，以全等三角形為知識載體舉幾個糾正易錯題的例子，**糾錯過程，形成我的糾錯策略，與大家共勉，．

全等三角形的判定和性質及其應用是初中幾何的重點內容之一，也是中考所要考查的重要內容之一．由於對概念、判定、性質的理解不清或對問題的考慮不周密，往往會出現各種錯誤．

一、尋找全等三角形的對應邊和對應角時出錯

例1　如圖，已知：△abc≌△efd,∠c=∠d,ae=bf,指出其他的對應邊和對應角。

錯解對應邊bc與df,ae 與bf,對應角∠def和 ∠abc.

錯解分析：識圖能力差，不能看出兩個三角形如何重合的，不能正確識別對應邊和對應角。

正解對應邊ab=ef,ac=ed,bc=df；對應角∠a=∠eef, ∠abc=∠f.

策略**：像本例的錯誤，反應了學生對圖形的識別能力不強，教師教學時應盡量多展示一些有關全等三角形的圖形，讓學生進行適當的對應邊，對應角的識別訓練，從而提高學生的識圖能力，達到學生不犯或少犯類似錯誤的目的。

例2　如圖所示，若△abc中的∠a=300，∠b=700，ac=17cm；如圖2（2）所示，若△def的∠d=700，∠e=800，de=17cm，那麼△abc與△def全等嗎？為什麼？

錯解：△abc與△def全等．

在△def中，因為∠d=700，∠e=800，

所以∠f=1800-∠d-∠e=1800-700-800=300．

在△abc中，因為∠a=300，∠b=700，

所以∠a=∠f，∠b=∠d．

又因為ac=17cm，de=17cm，

所以ac=de．

在△abc與△def中，

∴△abc≌△def．

錯解分析：ac是∠b的對邊，de是∠f的對邊，而∠b≠∠f，所以這兩個三角形不全等．

正確解法：△abc與△def不全等．

因為相等的兩邊不是相等的兩角的對邊，不符合全等三角形的識別法．

策略**：　概念是對事物進行判斷和推理的基礎，其重要性可想而知。在數學學習的過程中，有些學生不注重對數學概念的理解，對該透徹掌握的概念一知半解，模糊不清，導致了一系列的錯誤。

本例體現了學生對於全等中對應這一概念掌握不透徹造成的錯誤。所以在概念教學中，要通過具體的例子使學生對抽象的概念有乙個具體的感性的認識。在此基礎之上，再舉一些反例，通過暴露錯誤，糾正學生頭腦中的錯誤資訊，從而加深對數學概念內涵和外延的理解。

二、利用三個角對應相等說明全等出錯

例3　如圖，∠cab=∠dba，∠c=∠d，e為ac和bd的交點.△adb與△bca全等嗎?說說理由.

錯解　△adb≌△bca.

因為∠c=∠d, ∠cab=∠dba，∠dab=cba,所以△cbe≌△dae（aaa）.

錯解分析兩個三角形全等是對的，但說明的理由不正確.三個角對應相等不能作為三角形全等的識別方法.因為三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

正解　△cab≌△dba.

因為∠cab=∠dba,∠c=∠d,ab=ba(公共邊),

△cab≌△dba(aas).

策略**：在**三角形全等的判定時，教師應多讓學生動手操作，充分利用尺規作圖來判斷滿足某些條件的三角形是否唯一確定，讓學生理解唯一確定與不唯一確定說明了什麼問題，從而達到徹底理解三角形全等的判定的目的。

三、利用兩邊及一邊對應相等說明全等出錯

例4　如圖,已知△abc中,ab=ac,d、e分別是ab、ac的中點，且cd=be，△adc與△aeb全等嗎？說說理由.

錯解　△adc≌△aeb.

因為ab=ac,be=cd,∠bae=∠cad,所以△adc≌△aeb（ssa）.

錯解分析錯解在把ssa作為三角形全等的識別方法,實際上，ssa不能作為三角形全等的識別條件.因為兩邊及一邊對角相等的兩個三角形不一定全等.

正解　△adc≌△aeb.

因為ab=ac,d、e為ab、ac的中點，所以ad=ae.

在△adc和△aeb中,

因為ab=ac,ad=ae,cd=be,所以△adc≌△aeb（sss）

策略**：本例中除了要利用尺規作圖讓學生理解ssa做出的三角形的不確定性外，也要要求學生掌握這一作圖，它對於今後學習圓及解直角三角形.也有很好的作用。

四、利用部分當整體說明全等出錯

例5　如圖，已知ab=ac，bd=ce,試說明△abe與△acd全等的理由.

錯解:因為ab=ac,所以∠b=∠c,

在△abe和△acd中,

因為ab=ac,∠b=∠c,bd=ce,

所以△abe≌△acd（sas）.

錯解分析錯解在把三角形邊上的一部分當作說明的條件,這不符合三角形全等的識別方法.

正解　△abe與△acd全等.

因為ab=ac,所以∠b=∠c,

因為bd=ce,

所以bd+de=ce+de,即be=cd

在△abe和△acd中,

因為ab=ac,b=c,be=cd,所以△abc≌△acf（sas）.

策略**：把部分當作整體，很多學生容易犯這樣的錯誤，教學時教師應強調，必要時可讓學生進行一些由部分推導整體的訓練，以加深學生的印象。

五、利用減法運算說明全等出錯

例6　如圖，已知ac、bd相交於點0，∠a=∠b，∠acd=∠bdc，ad=bc.

試說明△aod≌△boc.

錯解在△adc和△bcd中，

因為∠a=∠b，∠acd=∠bdc，dc=cd，

所以△adc≌△bcd（aas），所以△adc-△doc=△bcd-△doc，即△a0d≌△b0c.

錯解分析錯解在將等式的性質盲目地用到三角形全等中，實際上，三角形全等是不能根據等式的性質說明的.

正解在△ado和△bcd中，∠a=∠b，∠aod=∠boc，ad=bc，

所以△aod≌△boc(aas).

策略**：對於數量關係可以用等式的性質進行運算，而圖形關係不能用等式的性質進行邏輯運算，教師要多做強調，以免學生再犯類似錯誤。

六、僅據圖形的直觀印象就視為條件來參與證明出錯

例7　如圖，在△abc中，ad是它的角平分線，bd=cd，de、df分別垂直於ab、ac，垂足為e、f．求證：be=cf．

錯證一：認為de=df，並以此為條件，

在rt△bde與rt△cdf中，

因為de=df，bd=cd，

所以rt△bde≌rt△cdf（hl）．

所以be=cf（全等三角形的對應邊相等

錯證二：認為ad⊥bc，並以此為條件，通過證明△abd≌△acd，得ab=ac．再由rt△aed≌rt△afd，得ae=af，從而得到：be=cf．

錯證分析：錯證一中認為de=df，並直接作為條件應用，因而產生錯誤；錯證二中，認為ad⊥bc，沒有經過推理，而直接作為條件應用，因而也產生錯誤．產生上述錯誤的原因是審題不清，沒有根據題設，結合圖形找證題方法，推論過程不符合全等的判定方法．

正確證法：在△aed和△afd中，

∴△aed≌△afd（aas）．

∴de=df（全等三角形的對應邊相等）．

在rt△bde與rt△cdf中，

∴rt△bde≌rt△cdf（hl）．

策略**：這是學生應用知識解決問題的過程中經常發生的錯誤，教學時要讓學生明白不能根據圖形的直觀就視為題目條件參與證明。

七、觀察圖形出現重複或遺漏出錯

例8　如圖所示，在等邊△abc中，d、e、f分別為ab、bc、ca上一點（不是中點），且ad=be=cf，圖中全等三角形組數為（　　）.

ａ.3組　　　ｂ.4組　　　ｃ.5組　　　ｄ.6組

錯解：a.

錯解分析學生審題時急躁、不細心，沒有靈活運用所給條件，只是直接運用了已知條件就做出判斷.全等三角形共有6組，分別是：△abe≌cad，△abe≌bcf，△cad≌bcf，△abf≌cae，△abf≌bcd，△cae≌bcd.

正解：c.

策略**：　正確的審題是做對數學題目的前提。有的學生在做題過程中急於求成，審題意識不強，拿到題目之後匆忙看一眼就動筆答題，很容易因為審題時錯看漏看條件，對題目條件挖掘不充分，出現失之毫釐，謬以千里的局面。

對這類問題平時學習要多觀察多總結，充分地用上所給條件，逐步找出所有的全等三角形，培養學生仔細讀題，深入思考，不急於下結論的習慣。做題時要全面考慮，充分挖掘題目的隱含條件。

教師可以通過對學生易錯題的研究，弄清錯誤後面學生所欠缺的能力，採取相應的糾正措施，並指導學生找出原因，在改正錯題的過程中掌握數學知識，積累解題經驗，提高解題能力。

三角形全等易錯題析

三角形的邊易錯題

全等三角形

全等三角形

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