第三節三角函式圖象與性質
[知識能否憶起]
1．週期函式
(1)週期函式的定義：
對於函式f(x)，如果存在乙個非零常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時，都有f(x＋t)＝f(x)，那麼函式f(x)就叫做週期函式．t叫做這個函式的週期．
(2)最小正週期：
如果在週期函式f(x)的所有週期中存在乙個最小的正數，那麼這個最小正數就叫做f(x)的最小正週期．
2．正弦函式、余弦函式、正切函式的圖象和性質
[小題能否全取]
1．函式y＝tan的定義域是( )
a. b.
c. d.
解析：選d ∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈z.
2．(教材習題改編)下列函式中，最小正週期為π的奇函式是( )
a．y＝cos 2xb．y＝sin 2x
c．y＝tan 2xd．y＝sin
解析：選b 選項a、d中的函式均為偶函式，c中函式的最小正週期為，故選b.
3．函式y＝|sin x|的乙個單調增區間是( )
ab.cd.
解析：選c 作出函式y＝|sin x|的圖象觀察可知，函式y＝|sin x|在上遞增．
4．比較大小，sin________sin.
解析：因為y＝sin x在上為增函式且－>－，故sin>sin.
答案：>
5．(教材習題改編)y＝2－3cos的最大值為________．此時x
解析：當cos＝－1時，函式y＝2－3cos取得最大值5，此時x＋＝π＋2kπ，從而x＝π＋2kπ，k∈z.
答案：5 π＋2kπ，k∈z
1.求三角函式的單調區間時，應先把函式式化成y＝asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根據三角函式的單調區間，求出x所在的區間．應特別注意，考慮問題應在函式的定義域內．
注意區分下列兩種形式的函式單調性的不同：
(1)y＝sin；(2)y＝sin.
2．週期性是函式的整體性質，要求對於函式整個定義域內的每乙個x值都滿足f(x＋t)＝f(x)，其中t是不為零的常數．如果只有個別的x值滿足f(x＋t)＝f(x)，或找到哪怕只有乙個x值不滿足f(x＋t)＝f(x)，都不能說t是函式f(x)的週期．
典題匯入
[例1] (1)(2013·湛江調研)函式y＝lg(sin x)＋的定義域為________．
(2)函式y＝sin2x＋sin x－1的值域為( )
a．[－1,1b.
cd.[自主解答] (1)要使函式有意義必須有
即解得(k∈z)，
∴2kπ∴函式的定義域為
.(2)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，畫出函式圖象如圖所示，從圖象可以看出，當t＝－及t＝1時，函式取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
[答案] (1) (2)c
若本例(2)中x∈，試求其值域．
解：令t＝sin x，則t∈[0,1]．
∴y＝t2＋t－1＝2－.
∴y∈[－1,1]．
∴函式的值域為[－1,1]．
由題悟法
1．求三角函式定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函式線或三角函式圖象來求解．
2．求解涉及三角函式的值域(最值)的題目一般常用以下方法：
(1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式複雜的函式應化為y＝asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的範圍，根據正弦函式單調性寫出函式的值域(如本例以題試法(2))；
(3)換元法：把sin x或cos x看作乙個整體，可化為求函式在給定區間上的值域(最值)問題(如例1(2))．
以題試法
1．(1)函式y＝＋的定義域為________．
(2)(2012·山西考前適應性訓練)函式f(x)＝3sin在區間上的值域為( )
a. b.
c. d.
解析：(1)要使函式有意義
則利用數軸可得
函式的定義域是
.(2)當x∈時，2x－∈，sin∈，
故3sin∈即此時函式f(x)的值域是.
答案：(1) (2)b
典題匯入
[例2] (2012·華南師大附中模擬)已知函式y＝sin，求：
(1)函式的週期；
(2)求函式在[－π，0]上的單調遞減區間．
[自主解答] 由y＝sin可化為y＝－sin.
(1)週期t＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以x∈r時，y＝sin的減區間為
，k∈z.
從而x∈[－π，0]時，y＝sin的減區間為
，.由題悟法
求三角函式的單調區間時應注意以下幾點：
(1)形如y＝asin(ωx＋φ)(a>0，ω>0)的函式的單調區間，基本思路是把ωx＋φ看作是乙個整體，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈z)求得函式的增區間，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈z)求得函式的減區間．
(2)形如y＝asin(－ωx＋φ)(a>0，ω>0)的函式，可先利用誘導公式把x的係數變為正數，得到y＝－asin(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈z)得到函式的減區間，由＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈z)得到函式的增區間．
(3)對於y＝acos(ωx＋φ)，y＝atan(ωx＋φ)等，函式的單調區間求法與y＝asin(ωx＋φ)類似．
以題試法
2．(1)函式y＝|tan x|的增區間為________．
(2)已知函式f(x)＝sin x＋cos x，設a＝f，b＝f，c＝f，則a，b，c的大小關係是( )
a．ac．b解析：(1)作出y＝|tan x|的圖象，觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區間是，k∈z.
(2)f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，因為函式f(x)在上單調遞增，所以f所以c答案：(1)，k∈z (2)b
典題匯入
[例3] (2012·廣州調研)已知函式f(x)＝sin (x∈r)，給出下面四個命題：
①函式f(x)的最小正週期為π；②函式f(x)是偶函式；
③函式f(x)的圖象關於直線x＝對稱；④函式f(x)在區間上是增函式．其中正確命題的個數是( )
a．1b．2
c．3d．4
[自主解答] 函式f(x)＝sin＝－cos 2x，則其最小正週期為π，故①正確；易知函式f(x)是偶函式，②正確；由f(x)＝－cos 2x的圖象可知，函式f(x)的圖象不關於直線x＝對稱，③錯誤；由f(x)的圖象易知函式f(x)在上是增函式，故④正確．綜上可知，選c.
[答案] c
由題悟法
1．三角函式的奇偶性的判斷技巧
首先要對函式的解析式進行恒等變換，再根據定義、誘導公式去判斷所求三角函式的奇偶性；也可以根據圖象做判斷．
2．求三角函式週期的方法
(1)利用週期函式的定義；
(2)利用公式：y＝asin(ωx＋φ)和y＝acos(ωx＋φ)的最小正週期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正週期為；
(3)利用圖象．
3．三角函式的對稱性
正、余弦函式的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．正切函式的圖象只是中心對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，並注意數形結合思想的應用．
以題試法
3．(1)(2013·青島模擬)下列函式中，週期為π，且在上為減函式的是( )
a．y＝sinb．y＝cos
c．y＝sind．y＝cos
(2)(2012·遵義模擬)若函式f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正週期為1，則它的圖象的乙個對稱中心為( )
ab．(0,0)
cd.解析：(1)選a 對於選項a，注意到y＝sin＝cos 2x的週期為π，且在上是減函式．
(2)選c 由條件得f(x)＝sin，又函式的最小正週期為1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.將x＝－代入得函式值為0.
1．函式y＝的定義域為( )
a. b.，k∈z
c.，k∈z
d．r解析：選c ∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈z.
2．已知函式f(x)＝sin (x∈r)，下面結論錯誤的是( )
a．函式f(x)的最小正週期為2π
b．函式f(x)在區間上是增函式
c．函式f(x)的圖象關於直線x＝0對稱
d．函式f(x)是奇函式
解析：選d ∵y＝sin＝－cos x，∴t＝2π，在上是增函式，圖象關於y軸對稱，為偶函式．
3．已知函式f(x)＝sin (ω＞0)的最小正週期為π，則函式f(x)的圖象的一條對稱軸方程是( )
a．xb．x＝
c．xd．x＝
解析：選c 由t＝π＝得ω＝1，所以f(x)＝sin，則f(x)的對稱軸為2x－＝＋kπ(k∈z)，解得x＝＋(k∈z)，所以x＝為f(x)的一條對稱軸．
4．(2012·山東高考)函式y＝2sin (0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
a．2b．0
c．－1d．－1－
解析：選a 當0≤x≤9時，－≤－≤，－≤sin≤1，所以函式的最大值為2，最小值為－，其和為2－.
5．已知函式f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，則f(x)的乙個單調遞減區間是( )
ab.cd.
解析：選c 由f＝－2，得f＝－2sin＝－2sin＝－2，所以sin＝1.因為|φ|<π，所以φ＝.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
6．已知函式f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區間上的最小值是－2，則ω的最小值等於( )
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