（考試時間120分鐘，滿分150分）
注意：在本試卷紙上答題無效，必須在答題紙上的規定位置按照要求答題．
一、填空題（每小題5分，共60分）
1、已知函式的定義域為，的定義域為，則 .
2、數列滿足，且，則
3、已知，，則等於
4、關於、的二元一次方程組無解，則
5、已知圓錐的母線長，高，則這個圓錐的側面積等於cm2.
6、設等差數列的首項，公差，前n項的和為，則 .
7、在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，
則選出的火炬手的編號能組成以2為公比的等比數列的概率為
8、閱讀右圖的程式框圖，若輸入，，
則輸出（注：框圖中的賦值符號「」也可以寫成「」或「」，n整
除a，即a為n的倍數）
9、設常數的展開式中的係數為，
則10、集合，，若「a＝1」
是「」的充分條件， 則b的取值範圍是
11、（文科）不等式≤3的解集為
（理科）在上取動點，在y軸上取點
，面積的最大值等於
12、已知函式，，若對於任一實數x，與至少有
乙個為正數，則實數m的取值範圍是
二、選擇題（每小題4分，共16分）
13、已知
(a) 1+2b) 1-2c) 2d) 2-
14、已知函式，，則的最小正週期是
(abcd)
15、設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恆成立的是
(ab)≥2
(cd)≥
16、對於函式定義域中任意的， ，有如下結論：
①；②；③＞0；
④＜.當時，上述結論中正確結論的序號是
(abcd) ②④
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）
17、（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題8分）
如圖，在四稜錐p-abcd中，底面abcd是邊長為2的正方形，
pa⊥底面abcd，pa＝4，m為pa的中點，n為bc的中點.
（文科）（1）求四稜錐p-abcd的體積；
（2）求異面直線pc與md所成角的大小.
（理科）（1）求點b到平面pcd的距離；
（2）求二面角m-nd-a的大小.
18、（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
設，.（1）當時，求x的值.
（2）若，求的最大值與最小值，並求出相應的取值.
19、（本題滿分14分，第1小題4分，第2小題10分）
某商務中心有相同規格商務用房100套，當每套商務用房的月租金為3000元時可全部租出。當每套商務用房的月租金增加50元時，未租出的商務用房將會增加一套. 已知租出的商務用房每套每月的管理成本為150元，未租出的商務用房每套每月的管理成本為50元.
（1）當每套商務用房的月租金定為3600元時，能租出多少套商務用房？
（2）當每套商務用房的月租金定為多少元時，該商務中心月收益最大，最大收益是多少元？
（注：商務中心月收益＝月全部租金收入－月全部管理成本）
20、（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
設數列的前n項和為，已知()，，.
（1）設，，證明數列為等比數列；
（2）求數列的通項公式；
（3）若≥，，求a的取值範圍.
21、（本題滿分18分，第1小題2分，第2小題6分，第3小題10分）
已知：函式（）的定義域為，其中，並且當且時，滿足.
（1）求函式（）的解析式；
（2）當時，分別研究函式的單調性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結論，提出乙個類似（2）的研究問題，並寫出問題的研究過程與研究結論。
【第（3）小題將根據你所提出問題的質量，以及解決所提出問題的情況進行分層評分】
2023年崇明縣高三數學質量檢測
參***
一．（第1至12題）每乙個空格正確的給5分，否則一律得零分.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 37. 8. 12；3 9. 1 10..
11. （文科）. （理科） 12.
二．（第12至15題）每一題正確的給4分，否則一律得零分.
三．（第17至21題）
17. [解].（文科）（1）==；
(公式2分，結果2分)
（2）連me，則，因此即為異面直線md與pc所成角。 （3分）
計算得所以8分)
（公式2分，結果3分）
即：異面直線pc與md所成角為。
（理科）（1）=，計算得。
（等積式或計算體積2分，結果2分）
（2） 以點a為座標原點，分別以為軸、軸、軸，建立直角座標系。
1分）則。平面的乙個法向量為， （3分）
設平面的法向量為，那麼：，由此得：
，所以平面的其中乙個法向量為6分）
計算得：。即：二面角m-nd-a的大小為。 （8分）
18. [解] （1）由得2分）
所以，即4分）
由於，所以，即6分）
（22分）
當時5分）
當時8分）
19. [解] （1）（套4分）
（2）設有套未出租時，月收益元最大。
6分）當時，月租金（元）（元） （10分）
（即：列式6分，算出月租金2分，最大收益2分）
20. [ 解]（1）當時， =2
所以為等比數列4分）
（21分）
2分）所以3分）
6分）（32分）
5分）所以，且6分）
21. [解] （1）由於2分）
所以4分）
（2）（每小題結論正確1分，證明1分，共6分）
當時，，易證函式的的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，；值域為
當時，，易證函式的單調遞增區間為；單位遞減區間為
；因此函式在值域為，在上值域為
因此函式值域為
當時， +=+
易證、，在單調遞減，在單調遞增，
所以+在單調遞減，在單調遞增。
由於=，用定義易證
在單調遞增，在上單調遞減。
的值域為
（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
第一類問題
結論一、單調遞增區間為
單調遞減區間為；值域為；
結論二、單調遞增區間為
，；單調遞減區間為，，值域為
解法及評分說明：解法與類同，結論分2分，證明正確得2分，共4分；
第二類問題
結論三、當時，在單調遞減，在單調遞增，值域為
結論四、當且n為奇數時，在單調遞減，在單調遞增；值域為；
結論五、當且n為偶數時，在單調遞減，在單調遞增；值域為；
解法及評分說明：結論三的單調性證明可以用數學歸納法完成；即；時。
（ⅰ）當時，，用定義易證函式在單調遞減；在上單調遞增；計算得值域為
（ⅱ）設函式（）在單調遞減；在上單調遞增；計算得值域為
則+，對於任意，
==，易證函式+在單調遞減，在上單調遞增；值域為。
（ⅲ）由（ⅰ）、（ⅱ）可得結論成立。
結論四及結論五的證明，可以先求和，後用定義進行證明，即：
，，容易獲得結論的證明。
解法及評分說明：結論分3分，證明正確得3分，共6分；
第三類問題
結論六：當n為奇數時，在，單調遞減，在，單調遞增；值域為；
結論七：當n為偶數時單調遞增區間為），單調遞減區間為；值域為；
結論八：當n為奇數時，在，單調遞減，在，單調遞增；值域為；
當n為偶數時單調遞增區間為），單調遞減區間為；值域為；
解法及評分說明：解法與第二類問題類同。結論分4分，求解正確得4分，共8分。
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