§4.3圖形的旋轉
例 15 2023年上海昂立教育中學生三模聯考第18題
如圖1，已知ad是等腰三角形abc底邊bc上的高，ad∶dc＝1∶3，將△adc繞著點d旋轉，得△def，點a、c分別與點e、f對應，且ef與直線ab重合，設ac與df相交於點o，那麼s△aof∶s△doc
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16昂立18」，拖動點f繞點d旋轉，可以體驗到，當點f落在射線ba上時，△aof∽△doc．
答案 32∶45．思路如下：
如圖2，設ad＝m，db＝dc＝3m，那麼ac＝ef＝m，cos∠bad＝．
作dh⊥ab於h，那麼ah＝ad·cos∠bad＝m．所以ae＝m．
於是af＝ef－ae＝m．
由△aof∽△doc，得s△aof∶s△doc＝af2∶dc2＝＝32∶45．
圖2例 16 2023年上海市崇明縣中考模擬第18題
如圖1，在rt△abc中，∠abc＝90°，ab＝bc＝2，將△abc繞點c逆時針旋轉60°，得到△mnc，聯結bm，那麼bm的長是
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16崇明18」，拖動點m繞點c逆時針旋轉，可以體驗到，當旋轉60°時，ac就是等腰直角三角形abc和等邊三角形acm的公共邊，bm是兩個三角形ac邊上的高的和．
答案 ．思路如下：
如圖2，在等腰rt△abc中，ab＝bc＝2，高bh＝．
在等邊三角形amc中，ac＝2，高mh＝．
圖2例 17 2023年上海市黃浦區中考模擬第18題
如圖1，在rt△abc中，∠bac＝90°，將△abc繞點c逆時針旋轉，旋轉後的圖形是△a′b′c，點a的對應點a′落在中線ad上，且點a′是△abc的重心，a′b′與bc相交於點e，那麼be∶ce
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16黃浦18」，拖動點a可以改變直角三角形abc的形狀，可以體驗到，當點a′落在△abc的重心時，ad//b′c．
答案 4∶3．思路如下：
根據旋轉前後的對應邊相等，對應角相等，可知∠acb＝∠a′cb′，ca＝ca′．
所以∠caa′＝∠ca′a．
又因為直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，所以da＝dc．
所以∠caa′＝∠acb．
所以∠a′cb′＝∠ca′a．所以ad// b′c．
根據重心的性質，可得．又因為，所以．
所以．所以．
圖2例 18 2023年上海市嘉定區寶山區中考模擬第18題
如圖1，點d在邊長為6的等邊三角形abc的邊ac上，且ad＝2，將△abc繞點c順時針方向旋轉60°，若此時點a和點d的對應點分別記為點e和點f，聯結bf交邊ac於點g，那麼tan∠aeg
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16嘉定寶山18」，拖動點e繞點c順時針旋轉60°，可以體驗到，四邊形abce是菱形，me∶bc＝1∶2，從而得到ag∶cg＝3∶2．這樣在△aeg中，就已知了∠a及夾∠a的兩邊，構造ae邊上的高就可以解△aeg了．
答案 ．思路如下：
如圖2，將△abc繞點c順時針方向旋轉60°，得到菱形abce．延長ae交bf的延長線於m．
因為，所以．
設菱形的邊長為10m，那麼ag＝6m．
如圖3，作gh⊥ae於h．
在rt△agh中，∠gah＝60°，所以ah＝ag＝3m，gh＝．
在rt△egh中，eh＝ae－ah＝7m，所以tan∠aeg＝．
圖2圖3
例 19 2023年上海市閘北區中考模擬第18題
如圖1，底角為α的等腰三角形abc繞著點b順時針旋轉，使得點a與bc邊上的點d重合，點c與點e重合，聯結ad、ce，已知tanα＝，ab＝5，則ce
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16閘北18」，拖動點e繞點b旋轉，可以體驗到，當點d落在bc上時，△bad∽△bce．
答案 ．思路如下：
如圖2，作ah⊥bc於h，那麼bh＝ch．
在rt△abh中，tan∠b＝，ab＝5，由此可得ah＝3，bh＝4．所以bc＝8．
在rt△adh中，dh＝bd－bh＝5－4＝1，所以ad＝．
如圖3，由△bad∽△bce，得，即．所以．
圖2圖3
例 202023年邵陽市中考第13題
如圖1，將等邊三角形cba繞點c順時針旋轉∠α得到三角形cb′a′，使得b、c、a′三點在同一條直線上，則∠α的大小是
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「16邵陽13」，拖動點a′繞著點c順時針旋轉，可以體驗到，∠aca′就是旋轉角∠α．當b、c、a′三點在同一條直線上，∠α＝120°（如圖2）．
答案 120°．思路如下：圖2
2019中考數學壓軸題專練
1 如圖 在平面直角座標系中，a點座標為 3，0 b點座標為 0，4 動點m從點o出發，沿oa方向以每秒1個單位長度的速度向終點a運動 同時，動點n從點a出發沿ab方向以每秒個單位長度的速度向終點b運動 設運動了x秒 1 點n的座標為用含x的代數式表示 2 當x為何值時，amn為等腰三角形？3 如圖...
2019中考壓軸
壓軸41 如圖所示,在平面直角座標系xoy中,矩形oabc的邊長oa oc的長分剔為12cm 6 cm,點a c分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線y ax2 bx c經過點a b,且18a c 0.1 求拋物線的解析式 2 如果點p由點a開始沿ab邊以1cm s的速度向點b移動,同時點q由點...
2019中考數學壓軸題練習
1.某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下 設 bac 0 90 現把小棒依次擺放在兩射線ab，ac之間，並使小棒兩端分別落在兩射線上.活動一 如圖甲所示，從點a1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，a1a2為第1根小棒.數學思考 1 小棒能無限擺下去嗎？答填 能 或 不能 2 ...