2017屆高三五校聯考期中考試數學試卷
第ⅰ卷 2023年11月
說明：本卷滿分為160分.考試時間為120分鐘.
一.填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡的相應位置上．
1.已知複數z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數單位)．在復平面內，z1－z2對應的點在第 ▲ 象限．
2．某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數學成績(均為整數)分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]後得到頻率分布直方圖(如下圖所示)，則分數在[70，80)內的人數是 ▲ ．
第2題第4題)
3.在△abc的邊ab上隨機取一點p，記△cap和△cbp的面積分別為s1和s2，則s1>2s2的概率是
4．執行右上邊的偽**，輸出的結果是
5．設等差數列的前項和為，若，則 ▲ ．
6．已知函式是奇函式，當時，，且，則 ▲ ．
7.設函式的部分圖象如圖所示.則
第7題)
8.如圖，在的方格紙中，若和是起點和終點均在格點的向量，則向量與的夾角余弦值是 ▲ ．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，則tan(β－α)的值為
10.正數x、y滿足x＋2y＝2，則的最小值為
11.已知直線l：x－y＝1與圓m：x2+y2－2x＋2y－1=0相交於a，c兩點，點b，d分別在圓m上運動，且位於
直線ac兩側，則四邊形abcd面積的最大值為 ▲ ．
12．如圖，梯形中，，，，
若，則 ▲ ．
13．設sn為數列的前n項和，sn＝kn2＋n，n∈n*，其中k是常數．若對於任意的m∈n*，am，a2m，a4m成等比數列，則k的值為
14．若，且對任意的恆成立，則實數的取值範圍為
二.解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程活鹽酸步驟．
15．（本小題滿分14分）
在中，已知，向量，，且.
(1) 求a的值；
(2) 若點d在邊bc上，且3＝，ad＝，求△abc的面積．
16. （本小題滿分14分）
在正三稜柱abc－a1b1c1中，點d是bc的中點．
（1）求證：a1c∥平面ab1d；
（2）設m為稜cc1的點，且滿足bm⊥b1d，求證：平面ab1d⊥平面abm．
17.（本小題滿分14分）
已知橢圓c:＋＝1(a＞b＞0)，離心率為，左準線方程是，設o為原點，點a在橢圓c上，點b在直線y＝2上，且oa⊥ob．
（1）求橢圓c的方程；
（2）求δaob面積取得最小值時，線段ab的長度；
18.（本小題滿分16分）
如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百公尺的菱形狀綠化區abcd，其中bmn是半徑為1百公尺的扇形，．管理部門欲在該地從m到d修建小路：在上選一點p（異於m、n兩點），過點p修建與bc平行的小路pq．
(1).若，求的長度；
(2).當點p選擇在何處時，才能使得修建的小路與pq及qd的總長最小？並說明理由．
19.（本小題滿分16分）
設數列的前項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，且，求數列的通項公式；
（3）設，數列的前n項和為.求.
20．（本小題滿分16分）
對於兩個定義域均為d的函式f(x)，g(x)，若存在最小正實數m，使得對於任意x∈d，都有|f(x)－g(x)|≤m，則稱m為函式f(x)，g(x)的「差距」，並記作||f(x)，g(x)||．
（1）求f(x)＝sinx(x∈r)，g(x)＝cosx(x∈r)的差距；
（2）設f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1, e])．(e≈2.718)
①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求滿足條件的最大正整數a；
②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求實數m的取值範圍．
2017屆高三五校聯考數學試卷
第ⅱ卷附加題部分
說明：本部分共4大題，每題10分，共40分.考試時間為30分鐘.
請在相應的答題區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21(b)．（選修４－２：矩陣與變換）
已知a、b∈r，若m＝所對應的變換t把直線2x－y＝3變換成自身，試求實數a、b.
21(c)．（選修４－４：座標系與引數方程）
在極座標系中，已知點p，直線，求點p到直線的距離．
22．（本小題滿分10分）
已知曲線c：y2＝2x－4.
(1) 求曲線c在點a(3，)處的切線方程；
(2) 過原點o作直線l與曲線c交於a、b兩不同點，求線段ab的中點m的軌跡方程．
23．（本小題滿分10分）
已知整數n≥4，集合m＝的所有含有4個元素的子集記為a1，a2，a3，…，.
設a1，a2，a3，…，中所有元素之和為sn.
(1) 求並求出sn；
(2) 證明：s4＋s5＋…＋sn＝.
參***及評分標準
2017屆高三五校聯考期中考試數學試卷
第ⅰ卷 2023年11月
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）
1.已知複數z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數單位)．在復平面內，z1－z2對應的點在第 ▲ 象限．
答案：二解析：z1－z2＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，從而z1－z2在第二象限．
本題考查了複數的四則運算．本題屬於容易題．
2．某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數學成績(均為整數)分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]後得到頻率分布直方圖(如下圖所示)，則分數在[70，80)內的人數是 ▲ ．
答案：30 解析：由題設可知a＝0.03，從而[70，80)人數為0.03×10×100＝30人．
本題考查頻率直方圖的基礎知識，屬於容易題．
第2題第4題)
3.在△abc的邊ab上隨機取一點p，記△cap和△cbp的面積分別為s1和s2，則s1>2s2的概率是
答案： 解析：由題設可知p(s1>2s2)＝＝.本題考查幾何概型的基礎知識．本題屬於容易題．
4．執行右上邊的偽**，輸出的結果是
答案：11 解析：由流程圖知.本題考查流程圖中當迴圈語句．本題屬於容易題．
5．設等差數列的前項和為，若，則
答案：.本題主要考查等差數列的通項、前項和公式．本題屬於容易題．
6．已知函式是奇函式，當時，，且，則 ．
答案：.本題屬於容易題．
7.設函式的部分
圖象如圖所示.則
答案：.本題考查三角函式的影象和性質．本題屬於容易題．
8．如圖，在的方格紙中，若和是起點和終點均在格點的向量，
則向量與的夾角余弦值是 ▲ ．
答案：本題主要考查向量的運算．本題屬於中等題．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，則tan(β－α)的值為 ．
答案：.本題考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.本題屬於中等題．
10.正數x、y滿足x＋2y＝2，則的最小值為
答案： 9 解析：＝(x＋2y)＝(2＋8＋＋·16)≥(10＋2)＝×18＝9，當且僅當＝4，x＋2y＝2，即y＝，x＝時「＝」成立．本題考查基本不等式綜合應用．本題屬於中等題．
11.已知直線l：x﹣y=1與圓m：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交於a，c兩點，點b，d分別在圓m上運動，且位於直線ac兩側，則四邊形abcd面積的最大值為 ▲ ．
答案：.本題考查直線與圓的位置關係．本題屬於中等題．
12．如圖，梯形中，，，，
若，則 ▲ ．
答案：.
13．設sn為數列的前n項和，sn＝kn2＋n，n∈n*，其中k是常數．若對於任意的m∈n*，am，a2m，a4m成等比數列，則k的值為
答案：0或1 解析：∵ sn＝kn2＋n，∴ 數列是首項為k＋1公差為2k的等差數列，an＝2kn＋1－k.
又對於任意的m∈n*都有a＝ama4m，∴ a＝a1a4，(3k＋1)2＝(k＋1)(7k＋1)，解得k＝0或1.
又k＝0時an＝1，顯然對於任意的m∈n*，am，a2m，a4m成等比數列；k＝1時an＝2n，am＝2m，a2m＝4m，a4m＝8m，顯然對於任意的m∈n*，am，a2m，a4m也成等比數列．綜上所述，k＝0或k＝1.
本題主要考查等差數列、等比數列的有關知識，考查推理變形的能力．本題屬於中等題．
14.若，且對任意
的恆成立，則實數的取值範圍為
答案：，解析：易知在上均為增函式，不妨設，則
等價於即
令，則在為減函式，
則在上恆成立，恆成立
令， ，為減函式，在的最大值為
綜上，實數的取值範圍為.
本題主要考查函式導數的有關知識，考查靈活運用有關基礎知識解決問題的能力．本題屬於難題．
二、解答題 （本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15．（本小題滿分14分）在中，已知，向量，，且.
(1) 求a的值；
(2) 若點d在邊bc上，且3＝，ad＝，求△abc的面積．
解：(1) 由題意知m·n＝sina＋cosb＝02分)
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2017屆高三五校聯考數學試卷 第 卷 2016年10月 一 填空題 本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上 1 已知集合，若,則實數的值為 2 是 的條件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 3 某課題組進行城市空氣質素監測，按地域將30個城市分成...
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