高三年級第一次模擬考試數學試卷（理）
第卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則
ab． c．ad．b
2．若複數的值為
ab．0c．1d．－1
3．設等差數列的前項和為 、是方程的兩個根，則
abcd．
4．已知函式，直線與兩個函式的相鄰交點為a，b，若m變化時，ab的長度是乙個定值，則ab的值是
a． b． c． d．
5．某四面體的三檢視如圖所示，正檢視、側檢視、俯檢視都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為
a． b．
c． d．
6．已知函式，且，則
abcd．
7．程式框圖如下：
如果上述程式執行的結果的值比2016小，若使輸出的最大，那麼判斷框中應填入
abcd．
8．函式的零點個數為
a．0 b．1 c．2 d．3
9．已知正方體的稜長為1，為的中點，則點到平面的距離為
a． b． c． d．
10．如圖，給定兩個向量和，它們的夾角為，點在以點為圓心的圓弧上，且（其中），則滿足的概率為
a． bc． d．
11．用表示兩個實數中的最小值．當正數變化時，也在變化，則的最大值為
a． bc． d．
12．如圖為雙曲線c：的左、右焦點，圓o：，過原點的直線與雙曲線c交於點p，與圓o交於點m、n，且，則
abcd．
第卷（非選擇題，共90分）
二、選擇題： 本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．二項式的展開式中常數項是用數字作答）
14．設△的內角， ，所對的邊長分別為，，，若，則的值為 ．
15．任取集合，，，，……，14}中的三個不同數，，，且滿足≥2,
≥2，則選取這樣的三個數方法種數共有用數字作答）
16．已知函式滿足，當時，．若函式在區間上有個零點，則實數的取值範圍是
三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知向量，，，且， ，分別為△的三邊所對的角．
（ⅰ）求角的大小；
（ⅱ）若，，成等比數列，且， 求邊c的值．
18．（本小題滿分12分）
如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．
(ⅰ)求證：平面；
(ⅱ)求二面角的大小．
19．（本小題滿分12分）
2023年里約熱內盧奧運會桌球比賽將產生男子單打、女子單打、男子團體、女子團體共四枚金牌，依據以往比賽成績估計中國桌球男隊獲得男子單打和男子團體每枚金牌的概率均為，中國桌球女隊獲得女子單打和女子團體每枚金牌的概率均為，
（i）求按此估計中國桌球女隊比中國桌球男隊多獲得一枚金牌的概率；
（ii）記中國桌球隊獲得金牌的枚數為ξ，求按此估計ξ的分布列和數學期望eξ．（結果均用分數表示）
20．（本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓的右焦點為f，過f的直線（非x軸）交橢圓於m、n兩點，右準線交x軸於點k，左頂點為a.
（1）求證：kf平分∠mkn；
（2）直線am、an分別交準線於點p、q，設直線mn的傾斜角為，試用表示線段pq的長度|pq|，並求|pq|的最小值．
21．（本小題滿分12分）
已知函式．
（ⅰ）當時，恆成立，求實數的取值範圍；
（ⅱ）當時，求證：．
請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．
22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知是圓的切線，為切點，是圓的割線，與圓交於，兩點，圓心在的內部，點是的中點．
（ⅰ）證明，，，四點共圓；
（ⅱ）求的大小．
23．（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
在直角座標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為，曲線的引數方程為，（為引數，）．
（ⅰ）求的直角座標方程；
（ⅱ）當與有兩個公共點時，求實數取值範圍．
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式．
（ⅰ）當時，求函式的定義域；
（ⅱ）當函式的定義域為時，求實數的取值範圍。
高三年級第一次模擬考試數學（理）答案
一、選擇題：
1．c 2．c 3．d 4．d 5．c 6．b
7．c 8．a 9．a 10．a 11．b 12．d
二、選擇題：
13． 14． 4 15． 220 16．或
三、解答題：
17．解
∴sinacosb+cosasinb=sin2c
即 sinc=sin2c
∴ cosc=
又c為三角形的內角， ∴
(ⅱ) ∵sina,sinc,sinb成等比數列，
∴ sin2c=sinasinb
∴ c2=ab
又,即∴ abcosc=18
∴ ab=36 故 c2=36 ∴ c=6
18． 解法一：(ⅰ)∵四邊形是正方形，
． ∵平面平面，
又∵，平面．
∵平面， ．
平面．(ⅱ) 過作於，鏈結．
∵平面，．平面．
是二面角的平面角．
∵平面平面，平面． ．
在中，，有．
由(ⅱ)所設可得，，
． ．．∴二面角等於．
解法二: ∵四邊形是正方形 ，
，∵平面平面，平面，
∴可以以點為原點，以過點平行於的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角座標系．
設，則，
∵是正方形的對角線的交點，．
(ⅰ) ，，，
， 平面．
(ⅱ)設平面的法向量為，則且，
且． 即
取，則， 則．
又∵為平面的乙個法向量，且，
， 設二面角的平面角為，則，．
∴二面角等於．
19． 解：（i）設中國桌球男隊獲0枚金牌，女隊獲1枚金牌為事件a，中國桌球男隊獲1枚金牌，女隊獲2枚金牌為事件b，那麼，
． （ii）根據題意中國桌球隊獲得金牌數是一隨機變數ξ，
它的所有可能取值為0，1，2，3，4（單位：枚）．那麼，
則概率分布為：
那麼，所獲金牌數的數學期望（枚）
答：中國桌球隊獲得金牌數的期望為枚．
20． 解：（1）法一：作mm1⊥於m1，nn1⊥於n1，則，
又由橢圓的第二定義有∴
∴∠kmm1=∠knn1，即∠mkf=∠nkf，
∴kf平分∠mkn
法二：設直線mn的方程為.
設m、n的座標分別為, 由
∴設km和kn的斜率分別為，顯然只需證即可．
∵ ∴
而即得證.
（2）由a，m，p三點共線可求出p點的座標為
由a，n，q三點共線可求出q點座標為，
設直線mn的方程為.由
∴ 則：
又直線mn的傾斜角為，則，∴
∴時，．
21． 解
令，∵，∴在上單調遞減，
∴，∴的取值範圍是．
（ⅱ）當時，，∴．
要證，只需證，
又因為，∴只需證，
∵ ∴
而即得證.
（2）由a，m，p三點共線可求出p點的座標為
由a，n，q三點共線可求出q點座標為，
設直線mn的方程為.由
∴ 則：
又直線mn的傾斜角為，則，∴
∴時，．
21． 解
令，∵，∴在上單調遞減，
∴，∴的取值範圍是．
（ⅱ）當時，，∴．
要證，只需證，
又因為，∴只需證，
即證．∵單調遞增，
且，，∴必有，使，
即，∴．
在上；在上，
∴，∴，即，
故當時，．
22． （ⅰ）證明：鏈結，．
因為與相切於點，所以．
因為是的弦的中點，所以．
於是．由圓心在的內部，
可知四邊形的對角互補，
所以，，，四點共圓．
（ⅱ）解：由（ⅰ）得，，，四點共圓，所以．
由（ⅰ）得．
由圓心在的內部，可知．
所以．23． 解：（ⅰ）曲線的極座標方程為，
∴曲線的直角座標方程為.
（ⅱ）曲線的直角座標方程為
，為半圓弧，
如圖所示，曲線為一族平行於直線的直線，
當直線與曲線相切時，，
當直線過點、兩點時，，
∴由圖可知，當時，曲線與曲線有兩個公共點．
24．（本小題滿分10分）
解：（ⅰ）當時，要使函式有意義，
有不等式成立，
當時，不等式等價於，即，；
當時，不等式等價於，無解；
當時，不等式等價於，即，；
綜上，函式的定義域為.
（ⅱ）∵函式的定義域為，∴不等式恆成立，
∴只要即可，
又∵（當且僅當時取等號）
即.的取值範圍是.
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