第18章平行四邊形專項訓練
專訓1.判定平行四邊形的五種常用方法
名師點金：
判定平行四邊形的方法通常有五種，即定義和四種判定定理，選擇判定方法時，一定要結合題目的條件，選擇恰當的方法，從而簡化解題過程．
利用兩組對邊分別平行判定平行四邊形
1．如圖，在abcd中，e，f分別為ad，bc上的點，且bf＝de，連線af，ce，be，df，af與be相交於m點，df與ce相交於n點．求證：四邊形fmen為平行四邊形．
(第1題)
利用兩組對邊分別相等判定平行四邊形
2．如圖，已知△abd，△bce，△acf都是等邊三角形．
求證：四邊形adef是平行四邊形．
(第2題)
利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形
3．已知：如圖，在四邊形abcd中，ab∥cd，e，f為對角線ac上兩點，且ae＝cf，df∥be.
求證：四邊形abcd為平行四邊形．
(第3題)
利用兩組對角分別相等判定平行四邊形
4．如圖，在abcd中，be平分∠abc，交ad於點e，df平分∠adc，交bc於點f，那麼四邊形bfde是平行四邊形嗎？請說明理由．
(第4題)
利用對角線互相平分判定平行四邊形
5．如圖①，abcd中，點o是對角線ac的中點，ef過點o，與ad，bc分別相交於點e，f，gh過點o，與ab，cd分別相交於點g，h，連線eg，fg，fh，eh.
(1)求證：四邊形egfh是平行四邊形；
(2)如圖②，若ef∥ab，gh∥bc，在不新增任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中與四邊形aghd面積相等的所有平行四邊形(四邊形aghd除外)．
(第5題)
專訓2.構造中位線的方法
名師點金：
三角形的中位線具有兩方面的性質：一是位置上的平行關係，二是數量上的倍分關係．因此，當題目中給出三角形兩邊的中點時，可以直接連出中位線；當題目中給出一邊的中點時，往往需要找另一邊的中點，作出三角形的中位線．
連線兩點構造三角形的中位線
1．如圖，點b為ac上一點，分別以ab，bc為邊在ac同側作等邊三角形abd和等邊三角形bce，點p，m，n分別為ac，ad，ce的中點．
(1)求證：pm＝pn；(2)求∠mpn的度數．
(第1題)
利用角平分線＋垂直構造中位線
2．如圖，在△abc中，點m為bc的中點，ad為△abc的外角平分線，且ad⊥bd，若ab＝12，ac＝18，求dm的長．
(第2題)
3．如圖，在△abc中，已知ab＝6，ac＝10，ad平分∠bac，bd⊥ad於點d，點e為bc的中點，求de的長．
(第3題)
倍長法構造三角形的中位線
4．如圖，在△abc中，∠abc＝90°，ba＝bc，△bef為等腰直角三角形，∠bef＝90°，m為af的中點，求證：me＝cf
(第4題)
已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形的中位線
5．如圖，在四邊形abcd中，m、n分別是ad、bc的中點，若ab＝10，cd＝8，求mn長度的取值範圍．
(第5題)
6．如圖，在△abc中，∠c＝90°，ca＝cb，e，f分別為ca，cb上一點，ce＝cf，m，n分別為af，be的中點，求證：ae＝mn.
(第6題)
已知兩邊中點，取第三邊中點構造三角形的中位線
7．如圖，在△abc中，ab＝ac，ad⊥bc於點d，點p是ad的中點，延長bp交ac於點n，求證：an＝ac.
(第7題) 答案
專訓11．證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，de＝bf，∴de綊bf.
∴四邊形bfde為平行四邊形．
∴be∥df.
同理，af∥ce.∴四邊形fmen為平行四邊形．
2．證明：∵△abd，△bce，△acf都是等邊三角形，
∴ba＝bd，bc＝be，∠dba＝∠ebc＝60°.
∴∠ebc－∠eba＝∠dba－∠eba，
∴∠abc＝∠dbe.
∴△abc≌△dbe.
∴af＝ac＝de.
同理，可證△abc≌△fec，
∴ad＝ab＝ef.
∴四邊形adef是平行四邊形．
3．證明：∵ab∥cd，∴∠bae＝∠dcf.
∵be∥df，∴∠bef＝∠dfe.
∴∠aeb＝∠cfd.
在△aeb和△cfd中，
∴△aeb≌△cfd，
∴ab＝cd.
又∵ab∥cd，∴四邊形abcd是平行四邊形．
4．解：四邊形bfde是平行四邊形．理由：在abcd中，∠abc＝∠cda，∠a＝∠c.
∵be平分∠abc，df平分∠adc，
∴∠abe＝∠cbe＝∠abc，∠cdf＝∠adf＝∠adc.∴∠abe＝∠cbe＝∠cdf＝∠adf.∵∠dfb＝∠c＋∠cdf，∠bed＝∠abe＋∠a，∴∠dfb＝∠bed.
∴四邊形bfde是平行四邊形．
5．(1)證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad∥bc，oa＝oc，
∴∠eao＝∠fco.
在△oae與△ocf中，
∴△oae≌△ocf，∴oe＝of.
同理og＝oh，
∴四邊形egfh是平行四邊形．
(2)解：與四邊形aghd面積相等的平行四邊形有gbch，abfe，efcd，egfh.
專訓21．(1)證明：如圖，連線cd，ae.由三角形中位線定理可得pm綊cd，pn綊ae.
∵△abd和△bce是等邊三角形，∴ab＝db，be＝bc，∠abd＝∠cbe＝60°，∴∠abe＝∠dbc.
∴△abe≌△dbc，
∴ae＝dc.∴pm＝pn.
(2)解：如圖，設pm交ae於f，pn交cd於g，ae交cd於h.由(1)知△abe≌△dbc，∴∠bae＝∠bdc.
∴∠ahd＝∠abd＝60°，
∴∠fhg＝120°.
易證四邊形pfhg為平行四邊形，
∴∠mpn＝120°.
(第1題)
2．解：如圖，延長bd，ca交於n.
(第2題)
在△and和△abd中，
∴△and≌△abd(asa)．
∴dn＝db，an＝ab.
∴dm＝nc＝(an＋ac)＝(ab＋ac)＝15.
3．解：如圖，延長bd交ac於點f，
(第3題)
∵ad平分∠bac，
∴∠bad＝∠cad.
∵bd⊥ad，∴∠adb＝∠adf，
又∵ad＝ad，∴△adb≌△adf(asa)．
∴af＝ab＝6，bd＝fd.
∵ac＝10，∴cf＝ac－af＝10－6＝4.
∵e為bc的中點，∴de是△bcf的中位線．
∴de＝cf＝×4＝2.
4．證明：如圖，延長fe至n，使en＝ef，連線bn，an.易得me＝an.
∵ef＝en，∠bef＝90°，∴be垂直平分fn.∴bf＝bn.
∴∠bnf＝∠bfn.∵△bef為等腰直角三角形，∠bef＝90°，
∴∠bfn＝45°.∴∠bnf＝45°，
∴∠fbn＝90°，即∠fba＋∠abn＝90°.又∵∠fba＋∠cbf＝90°，
∴∠cbf＝∠abn.在△bcf和△ban中，
∴△bcf≌△ban.
∴cf＝an.∴me＝an＝cf.
(第4題)
(第5題)
5．解：如圖，取bd的中點p，連線pm，pn.
∵m是ad的中點，p是bd的中點，
∴pm是△abd的中位線，
∴pm＝ab＝5.
同理可得pn＝cd＝4.
在△pmn中，
∵pm－pn∴16．證明：如圖，取ab的中點h，連線mh，nh，則mh＝bf，nh＝ae.
∵ce＝cf，ca＝cb，∴ae＝bf.
∴mh＝nh.
∵點m，h，n分別為af，ab，be的中點，
∴mh∥bf，nh∥ae.
∴∠ahm＝∠abc，∠bhn＝∠bac.
∴∠mhn＝180°－(∠ahm＋∠bhn)＝180°－(∠abc＋∠bac)＝90°.
∴nh＝mn.
∴ae＝2nh＝2×mn＝mn.
(第6題)
(第7題)
7．證明：如圖，取nc的中點h，連線dh，過點h作he∥ad，交bn的延長線於e.
∵ab＝ac，ad⊥bc，
∴d為bc的中點．
又∵h為nc的中點，
∴dh∥bn.
又∵pd∥eh，∴四邊形pdhe是平行四邊形．
∴he＝pd.又∵p為ad的中點，
∴ap＝pd.
∴ap＝eh，
易證△apn≌△hen，∴an＝nh.
∴an＝nh＝hc，∴an＝ac.
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