各區28題幾何綜合題
1.（2015朝陽28）在△abc中，∠c=90°，ac=bc，點d在射線bc上（不與點b、c重合），連線ad，將ad繞點d順時針旋轉90°得到de，連線be.
（1）如圖1，點d在bc邊上.
①依題意補全圖1；
②作df⊥bc交ab於點f，若ac=8，df=3，求be的長；
（2）如圖2，點d在bc邊的延長線上，用等式表示線段ab、bd、be之間的數量關係
（直接寫出結論）.
2．(2015西城28)△abc中，ab=ac．取bc邊的中點d，作de⊥ac於點e，取de的中點f，連線be，af交於點h．
（1）如圖1，如果，那麼，；
（2）如圖2，如果，猜想的度數和的值，並證明你的結論；
（3）如果，那麼．（用含的表示式表示）
3．（2015東城28）已知：rt△a′bc′和rt△abc重合，∠a′c′b=∠acb=90°，∠ba′c′=∠bac=30°，現將rt△a′bc′繞點b按逆時針方向旋轉角α（60°≤α≤90°），設旋轉過程中射線c′c和線段aa′相交於點d,連線bd．
（1）當α=60°時，a』b 過點c，如圖1所示，判斷bd和a′a之間的位置關係，不必證明；
（2）當α=90°時，在圖2中依題意補全圖形，並猜想（1）中的結論是否仍然成立，不必證明；
（3）如圖3，對旋轉角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的結論是否仍然成立；若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由.
4．（2015海淀28）在菱形中，，點是對角線上一點，連線，，將線段繞點逆時針旋轉並延長得到射線，交的延長線於點．
（1）依題意補全圖形；
備用圖（2）求證：；
（3）用等式表示線段，，之間的數量關係
5．（2015石景山28）在△中，．
（1）如圖1，直線是的垂直平分線，請在圖1中畫出點關於直線的對稱點，連線，，與交於點；
（2）將圖1中的直線沿著方向平移，與直線交於點，與直線交於點，過點作直線的垂線，垂足為點．
如圖2，若點**段上，請猜想線段，，之間的數量關係，並證明；
若點**段的延長線上，直接寫出線段，，之間的數量關係．
6． （2015通州28）在菱形abcd中，∠abc=60°，e是對角線ac上任意一點，f是線段bc延長線上一點，且cf=ae，連線be、ef．
（1）如圖1，當e是線段ac的中點時，易證be=ef.
（2）如圖2，當點e不是線段ac的中點，其它條件不變時，請你判斷（1）中的結論：.
（填「成立」或「不成立」）
（3）如圖3，當點e是線段ac延長線上的任意一點，其它條件不變時，（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
7．(2015門頭溝28)在rt△abc中，∠acb=90°，d是ab的中點，de⊥bc於e，連線cd．
（1）如圖1，如果∠a=30°，那麼de與ce之間的數量關係是．
（2）如圖2，在（1）的條件下，p是線段cb上一點，連線dp，將線段dp繞點d逆時針旋轉60°，得到線段df，連線bf，請猜想de、bf、bp三者之間的數量關係，並證明你的結論．
（3）如圖3，如果∠a=α（0°＜α＜90°），p是射線cb上一動點（不與b、c重合），連線dp，將線段dp繞點d逆時針旋轉2α，得到線段df，連線bf，請直接寫出de、bf、bp三者之間的數量關係（不需證明）．
圖1圖2圖3
8．(2015延慶28)已知，點p是△abc邊ab上一動點（不與a，b重合）分別過點a，b向直線cp作垂線，垂足分別為e，f，q為邊ab的中點.
（1）如圖1，當點p與點q重合時，ae與bf的位置關係是，qe與qf
的數量關係是；
（2）如圖2，當點p**段ab上不與點q重合時，試判斷qe與qf的數量關係，
並給予證明；
（3）如圖3，當點p**段ba的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？
請畫出圖形並給予證明.
9．（2015平谷28）
（1）如圖1，在四邊形abcd中，ab=bc，∠abc=80°，∠a+∠c=180°，點m是ad邊上一點，把射線bm繞點b順時針旋轉40°，與cd邊交於點n，請你補全圖形，求mn，am，cn的數量關係；
（2）如圖2，在菱形abcd中，點m是ad邊上任意一點，把射線bm繞點b順時針旋，與cd邊交於點n，鏈結mn，請你補全圖形並畫出輔助線，直接寫出am，cn，mn的數量關係是 ；
（3）如圖3，正方形abcd的邊長是1，點m，n分別在ad，cd上，若△dmn的周長為2，則△mbn的面積最小值為 ．
10．（2015豐台28）在△abc中，ca=cb，cd為ab邊的中線，點p是線段ac上任意一點（不與點c重合），過點p作pe交cd於點e，使∠cpe=∠cab，過點c作cf⊥pe交pe的延長線於點f，交ab於點g.
（1）如果∠acb=90°，
如圖1，當點p與點a重合時，依題意補全圖形，並指出與△cdg全等的乙個三角形；
如圖2，當點p不與點a重合時，求的值；
（2）如果∠cab=a，如圖3，請直接寫出的值.（用含a的式子表示）
11．（2015懷柔28）在等邊△abc外側作直線，點關於直線的對稱點為d，連線bd,cd，其中cd交直線
於點e．
（1）依題意補全圖1；
（2）若∠pab=30°，求∠ace的度數；
（3）如圖2，若60°<∠pab<120°，判斷由線段ab,ce,ed可以構成乙個含有多少度角的三角形，並證明.
12．（2015大興28）已知：如圖，在四邊形abcd中，ad∥bc，abc=90°.點e為邊ad上一點，將△abe沿直線be摺疊，使點a落在四邊形對角線bd上的點g處，eg的延長線交直線bc於點f.
（1）點e可以是ad的中點嗎？請說明理由；
（2）求證△abg∽△bfe；
（3）設ad=a，ab=b，bc=c.當四邊形efcd為平行四邊形時，求a，b，c應滿足的關係.
13．（2015順義28）如圖，△abc中，ab=ac，點p是三角形右外一點，且∠apb=∠abc．
（1）如圖1，若∠bac=60°，點p恰巧在∠abc的平分線上，pa=2，求pb的長；
（2）如圖2，若∠bac=60°，**pa，pb，pc的數量關係，並證明；
（3）如圖3，若∠bac=120°，請直接寫出pa，pb，pc的數量關係．
14．（2015房山28）如圖1，已知線段bc=2，點b關於直線ac的對稱點是點d，點e為射線ca上一點，且ed=bd，連線de，be.
(1) 依題意補全圖1，並證明：△bde為等邊三角形；
(2) 若∠acb=45°，點c關於直線bd的對稱點為點f，連線fd、fb.將△cde繞點d 順時針旋轉α度（0°＜α＜360°）得到△，點e的對應點為e′，點c的對應點為點c′.
①如圖2，當α=30°時，連線．證明： =；
②如圖3，點m為dc中點，點p為線段上的任意一點，試**：在此旋轉過程中，線段pm長度的取值範圍？
15．（2015燕山28）△abc中，∠abc＝45°，ah⊥bc於點h，將△ahc繞點h逆時針旋轉90°後，點c的對應點為點d，直線bd與直線ac交於點e，連線eh．
（1）如圖1，當∠bac為銳角時，
①求證：be⊥ac；②求∠beh的度數；
（2）當∠bac為鈍角時，
請依題意用實線補全圖2，並用等式表示出線段ec，ed，eh之間的數量關係．
答案：1.（2015朝陽）
28.解：（1）①補全圖形，如圖1所示1分
②由題意可知ad=de，∠ade=90°.
∵df⊥bc，
∴∠fdb=90°.
∴∠adf=∠edb2分
∵∠c=90°，ac=bc，
∴∠abc=∠dfb=90°.
∴db=df.
∴△adf≌△edb3分
∴af=eb.
在△abc和△dfb中，
∵ac=8，df=3，
∴ac=，df4分
af=ab－bf=
即be5分
（2）bd=be+ab7分
2．(2015西城)
28．解：（1）902分
（2）結論：，．
證明：如圖8，連線ad．
∵ab=ac，∠bac=60°，
∴△abc是等邊三角形．
∵d為bc的中點，
∴ad⊥bc．
∴∠1+∠2=90°．
又∵de⊥ac，
∴∠dec=90°．
∴∠2+∠c=90°．
∴∠1=∠c=60°．
設ab=bc=k（），
則，．∵f為de的中點，
∴，．∴，．
3分又∵∠1=∠c，
∴△adf∽△bce4分
5分∠3=∠4．
又∵∠4+∠5=90°，∠5=∠6，
∴∠3+∠6=90°．
6分（37分
注：寫或其他答案相應給分．
3．（2015東城）
28.解:(1)當時1分
（2）補全圖形如圖1，
仍然成立3分
（3）猜想仍然成立.
證明：作，，垂足分別為點，如圖2，則.
∵，∵，
∴，.∴.
在和中，
∴.∴.
在和中，
∴.∵，
∴為等腰三角形.
7分4．（2015海淀）
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